2013年全国高校自主招生数学模拟试卷（十）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

给定公比为 q （ q≠1）的等比数列{ a _n}，设 b ₁=a ₁+a ₂+a ₃，b ₂=a ₄+a ₅+a ₆，…，b _n=a _3n-2+a _3n-1+a _3n，…，则数列{ b _n}（ ）
A．是等差数列
B．是公比为 q 的等比数列
C．是公比为 q ³的等比数列
D．既非等差数列也非等比数列

2. 难度：中等

平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式（|x|-1）²+（|y|-1）²＜2的整点（ x，y ）的个数是（ ）
A．16
B．17
C．18
D．25

3. 难度：中等

若（log₂3）^x-（log₅3）^x≥（log₂3）^-y-（log₅3）^-y，则（ ）
A．x-y≥0
B．x+y≥0
C．x-y≤0
D．x+y≤0

4. 难度：中等

给定下列两个关于异面直线的命题：
命题Ⅰ：若平面 α 上的直线 a 与平面 β 上的直线 b 为异面直线，直线 c 是 α 与β  的交线，那么，c 至多与 a，b 中的一条相交；
命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线．
那么，（ ）
A．命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确
B．命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确
C．两个命题都正确
D．两个命题都不正确

5. 难度：中等

在某次乓乒球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛的场数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知点A（1，2），过点P（5，-2）的直线与抛物线y²=4x相交于B，C两点，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定

二、填空题

7. 难度：中等

已知正整数 n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的 n 的个数是    ．

8. 难度：中等

复数（12+5i）²（239-i）的辐角主值是    ．

9. 难度：中等

在△ABC 中，记 BC=a，CA=b，AB=c，若9a²+9b²-19c²=0，则=    ．

10. 难度：中等

已知点 P 在双曲线上，并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是    ．

11. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0中的 a，b，c 是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是    ．

12. 难度：中等

已知三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心，二面角 H-AB-C 的平面角等于30°，SA=2．那么三棱锥 S-ABC 的体积为    ．

三、解答题

13. 难度：中等

已知当x∈[0，1]时，不等式x²cosθ-x（1-x）+（1-x²）sinθ＞0恒成立，试求θ的取值范围．

14. 难度：中等

给定 A （-2，2），已知 B 是椭圆上的动点，F 是左焦点，当|AB|+|BF|取最小值时，求B的坐标．

15. 难度：中等

给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件≤M 的所有等差数列 a₁，a₂，a₃，…．，试求 S=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1的最大值．