2012-2013学年广东省广州市海珠区高三（上）数学综合测试1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∩（C_UB）=（ ）
A．{5}
B．{2，4}
C．{2，4，5，6}
D．{1，2，3，4，5，7}

2. 难度：中等

下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），
p₁：|z|=2，
p₂：z²=2i，
p₃：z的共轭复数为1+i，
p₄：z的虚部为-1．
A．p₂，p₃
B．p₁，p₂
C．p₂，p₄
D．p₃，p₄

3. 难度：中等

下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．y=-x³
B．y=cos
C．y=x|x|
D．y=e^x

4. 难度：中等

要得到函数的图象可将函数的图象上的所有点（ ）
A．向右平行移动个长度单位
B．向左平行移动个长度单位
C．向右平行移动个长度单位
D．向左平行移动个长度单位

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的i值为（ ）

A．5
B．6
C．7
D．8

6. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，双曲线x²-y²=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在长为10cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于9cm²的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x₁∈[-1，2]，存在x∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x），则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．[3，+∞）
D．（0，3]

二、填空题

9. 难度：中等

在（a+x）⁷展开式中x⁴的系数为35，则实数a的值为    ．

10. 难度：中等

设x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值是    ．

11. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为    ．

12. 难度：中等

不等式|2x-1|＜1的解集为（a，b），计算定积分=    ．

13. 难度：中等

将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，数列第6项a₆=    ；第n项a_n=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题） 已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数），则圆心C到直线l的距离为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC=4，DE=2，DF=1，则AB的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，向量，且．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC面积为，3ac=25-b²，求a，c的值．

17. 难度：中等

电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图，其中收看时间分组区间是：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]．将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（1）求图中x的值；   
（2）从“体育迷”中随机抽取2人，该2人中日均收看该类体育节目时间在区间[50，60]内的人数记为X，求X的数学期望E（X）．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，点M，N分别为A₁B和B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁M⊥MC；
（2）证明：MN∥平面A₁ACC₁；
（3）求二面角N-MC-A的正弦值．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₃=5，a₅-2a₂=3，又数列{b_n}中，b₁=3且
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别是S_n，T_n，且．求数列{c_n}的前n项和M_n；
（Ⅲ）若M_n对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，A（x，y）（x≠0）是抛物线C上的一定点．
（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；
（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A₁处的切线的斜率．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（II）若关于x的方程，在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（III）证明：对任意的正整数n，不等式成立．