2013年全国高校自主招生数学模拟试卷（八）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a为给定的实数，那么集合M={x|x²-3x-a²+2=0，x∈R}的子集的个数为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．不确定

2. 难度：中等

命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；
命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点；
命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点．
以上三个命题中正确的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

3. 难度：中等

在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|cotx|，y=lg|sinx|中以π为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是（ ）
A．y=sin|x|
B．y=cos|x|
C．y=|ctgx|
D．y=lg|sinx|

4. 难度：中等

如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值为（ ）
A．
B．0＜k≤12
C．k≥12
D．0＜k≤12或

5. 难度：中等

若（1+x+x²）¹⁰⁰⁰的展开式为，则a+a₃+a₆+a₉+…+a₁₉₉₈的值为（ ）
A．3³³³
B．3⁶⁶⁶
C．3⁹⁹⁹
D．3²⁰⁰¹

6. 难度：中等

已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ）
A．2枝玫瑰价格高
B．3枝康乃馨价格高
C．价格相同
D．不确定

二、填空题

7. 难度：中等

椭圆的短轴长等于    ．

8. 难度：中等

若复数z₁，z₂满足|z₁|=2，|z₂|=3，3z₁-2z₂=，则z₁•z₂=    ．

9. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则直线A₁C₁与BD₁的距离是    ．

10. 难度：中等

不等式的解集为    ．

11. 难度：中等

函数的值域为    ．

12. 难度：中等

在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有    种栽种方案．

三、解答题

13. 难度：中等

设{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，且b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²（a₁＜a₂），又．试求{a_n}的首项与公差．

14. 难度：中等

设曲线C₁：（a为正常数）与C₂：y²=2（x+m） 在x轴上方仅有一个公共点P．
（1）求实数m的取值范围（用a表示）；
（2）O为原点，若C₁与x轴的负半轴交于点A，当0＜a＜时，试求△OAP的面积的最大值（用a表示）．

15. 难度：中等

用电阻值分别为a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆ （a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞a₆） 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．