2013年全国高校自主招生数学模拟试卷（十四）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设等差数列{a_n}满足：3a₈=5a₁₃，且a₁＞0，S_n为其前n项之和，则S_n中最大的是（ ）
A．S₂₁
B．S₂₀
C．S₁₁
D．S₁₀

2. 难度：中等

设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z₁，Z₂，…，Z₂₀，则复数…，所对应的不同的点的个数是（ ）
A．4
B．5
C．10
D．20

3. 难度：中等

如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（ ）
A．1个
B．2个
C．50个
D．100个

4. 难度：中等

已知方程|x-2n|=k （n∈N^*）在区间（2n-1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0
B．0＜k≤
C．＜k≤
D．以上都不是

5. 难度：中等

log_sin1cos1，log_sin1tan1，log_cos1sin1，log_cos1tan1的大小关系是（ ）
A．log_sin1cos1＜log_cos1sin1＜log_sin1tan1＜log_cos1tan1
B．log_cos1sin1＜log_cos1tan1＜log_sin1cos1＜log_sin1tan1
C．log_sin1tan1＜log_cos1tan1＜log_cos1sin1＜log_sin1cos1
D．log_cos1tan1＜log_sin1tan1＜log_sin1cos1＜log_cos1sin1

6. 难度：中等

设O是正三棱锥P-ABC的底面△ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则（ ）
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．无最大值也无最小值
D．是与平面QRS无关的常数

二、填空题

7. 难度：中等

设α，β为一对共轭复数，若|α-β|=2，且为实数，则|α|=    ．

8. 难度：中等

一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为    ．

9. 难度：中等

用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg²x-[lgx]-2=0的实根个数是    ．

10. 难度：中等

直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是    ．

11. 难度：中等

将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色．若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为    ．

12. 难度：中等

设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15x∉A，则A中元素的个数最多是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

给定曲线族2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）y=0，θ为参数，求该曲线族在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．

14. 难度：中等

求一切实数p，使得三次方程5x³-5（p+1）x²+（71p-1）x+1=66p的三个根均为正整数．

15. 难度：中等

如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．

16. 难度：中等

将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色．证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．