2013年全国高校自主招生数学模拟试卷（四）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知△ABC，若对任意t∈R，≥则△ABC一定为（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．答案不确定

2. 难度：中等

设log_x（2x²+x-1）＞log_x2-1，则x的取值范围为（ ）
A．＜x＜1
B．x＞且x≠1
C．x＞1
D．0＜x＜1

3. 难度：中等

已知集合A={x|5x-a≤0}，B={x|6x-b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N={2，3，4}，则整数对（a，b）的个数为（ ）
A．20
B．25
C．30
D．42

4. 难度：中等

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，，AB=AC=A₁A=1，已知G与E分别是棱A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（ ）

A．[，1）
B．[，2）
C．[1，）
D．[，）

5. 难度：中等

设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（ ）
A．充分必要条件
B．充分而非必要条件
C．必要而非充分条件
D．既非充分也非必要条件

6. 难度：中等

数码a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₀₆中，有奇数个9的2007位十进制数2a₁a₂…a₂₀₀₆的个数为（ ）
A．（10²⁰⁰⁶+8²⁰⁰⁶）
B．（10²⁰⁰⁶-8²⁰⁰⁶）
C．10²⁰⁰⁶+8²⁰⁰⁶
D．10²⁰⁰⁶-8²⁰⁰⁶

二、填空题

7. 难度：中等

设f（x）=sin⁴x-sinxcosx+cos⁴x，则f（x）的值域是    ．

8. 难度：中等

若对一切θ∈R，复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i的模不超过2，则实数a的取值范围为    ．

9. 难度：中等

已知椭圆+=1的左右焦点分别为F₁与F₂，点P在直线l：x-y+8+2=0上．当∠F₁PF₂取最大值时，的比值为    ．

10. 难度：中等

底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水    cm³．

11. 难度：中等

方程（x²⁰⁰⁶+1）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁴）=2006x²⁰⁰⁵的实数解的个数为    ．

12. 难度：中等

袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为    ．

三、解答题

13. 难度：中等

给定整数n≥2，设M（x，y）是抛物线y²=nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使（）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点．

14. 难度：中等

将2006表示成5个正整数x₁，x₂，x₃，x₄，x₅之和．记S=x_ix_j．问：
（1）当x₁，x₂，x₃，x₄，x₅取何值时，S取到最大值；
（2）进一步地，对任意1≤i，j≤5有≤2，当x₁，x₂，x₃，x₄，x₅取何值时，S取到最小值．说明理由．

15. 难度：中等

设f（x）=x²+a．记f¹（x）=f（x），fⁿ（x）=f（f^n-1（x）），n=1，2，3，…，集合M={a∈R|对所有正整数n，≤2}．
证明：M=[-2，]．