2011-2012学年山西省太原五中高三（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤2，x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．{1，2}
B．{3，4}
C．{1}
D．{-2，-1，0，1，2}

2. 难度：中等

复数的值是（ ）
A．4i
B．-4i
C．4
D．-4

3. 难度：中等

已知，则等于（ ）
A．
B．7
C．
D．-7

4. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若则=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

张老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算S=1++++”．发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

直线ax-y+=0（a≥0）与圆x²+y²=9的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定

7. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要

8. 难度：中等

设a＞1，0＜b＜1，则log_ab+log_ba的取值范围为（ ）
A．[2，+∞）
B．（2，+∞）
C．（-∞，-2）
D．（-∞，-2]

9. 难度：中等

设ϖ＞0，m＞0，若函数f（x）=msincos在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（0，）
C．[，+∞）
D．[1，+∞）

10. 难度：中等

定义在R上的函数y=ln（x²+1）+|x|，满足f（2x-1）＞f（x+1），则x满足的关系是（ ）
A．（2，+∞）∪（-∞，0）
B．（2，+∞）∪（-∞，1）
C．（-∞，1）∪（3，+∞）
D．（2，+∞）∪（-∞，-1）

11. 难度：中等

椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则|y₁-y₂|值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为；
②函数y=f（x）的图象关于直线（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在上是增函数．
其中正确的命题的序号是（ ）
A．①
B．②③
C．①②③
D．①④

二、填空题

13. 难度：中等

观察下列等式：
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
…

1³=1
1³+2³=9
1³+2³+3³=36
1³+2³+3³+4³=100
1³+2³+3³+4³+5³=225
…
可以推测：1³+2³+3³+…+n³=    （n∈N₊，用含有n的代数式表示）．

14. 难度：中等

已知||=2||≠0，且关于x的函数f（x）=x³+||x²+•x在R上有极值，则与的夹角范围为    ．

15. 难度：中等

已知（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=-x+2与曲线的交点个数为    ．

16. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a、b∈R满足：f=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=（n∈N^*），b_n=（n∈N^*），考察下列结论：
①f（0）=f（1）；
②f（x）为偶函数；
③数列{b_n}为等差数列；
④数列{a_n}为等比数列，
其中正确的是    ．（填序号）

三、解答题

17. 难度：中等

△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，-），=（cos2B，2cos²-1）且∥．
（Ⅰ）求锐角B的大小；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

18. 难度：中等

某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：

血型	A	B	AB	O
人数	20	10	5	15

（Ⅰ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；
（Ⅱ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；
（Ⅲ）现有一位血型为A型的病人需要输血，要从血型为A，O的学生中随机选出2人准备献血，记选出A型血的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

将两块三角板按图甲方式拼好（A、B、C、D四点共面），其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，现将三角板ACD沿AC折起，使点D在平面ABC上的射影O恰好在AB上（如图乙）．
（1）求证：AD⊥平面BDC；
（2）求二面角D-AC-B的大小；
（3）求异面直线AC与BD所成角的大小．

20. 难度：中等

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x₁（x₁＞0），过点A作抛物线C的切线l₁交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．
（Ⅰ）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l₂交直线l₁于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x₁值．

21. 难度：中等

已知函数．
（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交圆O于点D，交BC的延长线于点F，DE是BD的延长线，连接CD．
（Ⅰ）求证：∠EDF=∠CDF；
（Ⅱ）求证：AB²=AF•AD．

23. 难度：中等

（选做题）直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）．
（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求△AOB的面积；
（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．

24. 难度：中等

（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x-1|，不等式f（x）＜4的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．