2012年内蒙古包头一中高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={1，2}，N={2a-1|a∈M}，则M∩N=（ ）
A．{1}
B．{1，2}
C．{1，2，3}
D．空集

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，z₁=2+2i，z₂=1-3i，那么复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知a是函数的零点，若0＜x＜a，则f（x）的值满足（ ）
A．f（x）=0
B．f（x）＞0
C．f（x）＜0
D．f（x）的符号不确定

4. 难度：中等

若利用计算机在区间（0，1）上产生两个不等的随机数a和b，则方程有不等实数根的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知球面上A、B、C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的，且，，则球的表面积是（ ）
A．81π
B．9π
C．
D．

6. 难度：中等

函数y=f（x）的图象经过原点，且它的导函数y=f′（x）的图象是如图所示的一条直线，则y=f（x）的图象不经过（ ）

A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的k值是（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

8. 难度：中等

若将函数的图象向右平移m（0＜m＜π）个单位长度，得到的图象关于原点对称，则m=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1与的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知F是抛物线y²=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点．若线段AB的中点到y轴的距离为，则|AF|+|BF|=（ ）
A．2
B．
C．3
D．4

12. 难度：中等

已知点F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF₂是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设向量，若向量与向量共线，则λ=    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，，则内角A的取值范围是    ．

15. 难度：中等

曲线在x=e处的切线方程为    ．

16. 难度：中等

若变量x，y满足条件，且z=2x-y的最大值比最小值大3，则a的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．求数列{a_n}的通项公式．

18. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（I）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；
（II）求证：BD⊥平面PAC；
（III）若E是PA的中点，求四面体PBEC的体积．

19. 难度：中等

班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（I）如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少名才符合抽样要求？
（II）随机抽出8名，他们的数学、物理分数对应如下表：

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学分数x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分数y	72	77	80	84	88	90	93	95

（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一名同学，他的数学和物理分数均为优秀的概率是多少？
（ii）根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，说明理由．
参考公式：相关系数；
回归直线的方程是：，其中，，是与x_i对应的回归估计值．
参考数据：，，，，，，．

20. 难度：中等

已知椭圆C：，的离心率为，A、B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且．
（I）求椭圆的方程；
（II）过（-1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点，求△POQ的面积的最大时直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．
（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．