2012年海南省高考数学压轴卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数等于（ ）
A．-1-i
B．1-i
C．-1+i
D．1+i

2. 难度：中等

若集合A={1，m²}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知向量=（2，x-1），=（1，-y）（xy＞0），且∥，则的最小值等于（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

4. 难度：中等

α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且cosα=x，则x的值为（ ）
A．
B．±
C．-
D．-

5. 难度：中等

已知直线ax-by-2=0与曲线y=x³在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

一个正三棱柱的主（正）视图是边长为2的正方形，则它的外接球的表面积等于（ ）
A．8π
B．
C．9π
D．

8. 难度：中等

同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在（-，）上是增函数．”的一个函数是（ ）
A．y=sin（）
B．y=cos（）
C．y=cos（2x+）
D．y=sin（2x-）

9. 难度：中等

已知变量x，y满足，则2^x+y的最大值为（ ）
A．
B．8
C．16
D．64

10. 难度：中等

程序如图：
则输入a=（-）⁴，b=（）⁴，c=则运行结果为（ ）

A．（）⁴，，（-）⁴
B．（-）⁴，，（）⁴
C．（-）⁴，（）⁴，
D．（）⁴，（-）⁴，

11. 难度：中等

若双曲线的左．右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：
甲：f（3）=1；
乙：函数f（x）在[-6，-2]上是增函数；
丙：函数f（x）关于直线x=4对称；
丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和为-8．
其中正确的是（ ）
A．甲，乙，丁
B．乙，丙
C．甲，乙，丙
D．甲，丁

二、填空题

13. 难度：中等

设函数f（x）=，若f（x）＞1，则x的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题
①若α∥β则l⊥m；
②若l⊥m则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；
④若l∥m则α⊥β．其中正确命题的序号是    ．

15. 难度：中等

如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n）；
①f（3）=    ；
②f（n）=    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=则，则∠C=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；
（Ⅱ）设AB=1，求多面体ABCDE的体积．

18. 难度：中等

某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160，165），第二组[165，170），第三组[170，175），第四组[175，180），第五组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示，
（1）求第三、四、五组的频率；
（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

19. 难度：中等

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为．点P（1，）、A、B在椭圆E上，且+=m（m∈R）．
（1）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
（2）当m=-3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．

20. 难度：中等

已知f（x）=x³+bx+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．
（1）求c的值；
（2）求证f（1）≥2；
（3）求|α-β|的取值范围．

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．
（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求的值．

22. 难度：中等

选修4-4；坐标系与参数方程
已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：上．
（1）求点P的轨迹方程和曲线的直角坐标方程：
（2）求|PQ|的最小值．

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．

四、填空题

24. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，．
（Ⅰ）求a_n与b_n； 
（Ⅱ）求数列{c_n}满足，求{c_n}的前n项和T_n．