2009-2010学年广东省广州市高三调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．{2}
B．{4，6}
C．{1，3，5}
D．{4，6，7，8}

2. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．（-∞，-1]∪[1，+∞）
B．（-∞，1]
C．（-1，1）
D．[-1，1]

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₆+a₈=6，则数列{a_n}的前13项之和为（ ）
A．
B．39
C．
D．78

4. 难度：中等

命题“∃x∈R，e^x＞x”的否定是（ ）
A．∃x∈R，e^x＜
B．∀x∈R，e^x＜
C．∀x∈R，e^x≤
D．∃x∈R，e^x≤

5. 难度：中等

已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．6

6. 难度：中等

设f（x）是展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，5）
B．（-∞，5]
C．（5，+∞）
D．[5，+∞）

7. 难度：中等

圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（ ）
A．（x-1）²+（y-2）²=5
B．（x-2）²+（y-1）²=5
C．（x-1）²+（y-2）²=25
D．（x-2）²+（y-1）²=25

8. 难度：中等

已知数列：，依它的前10项的规律，这个数列的第2010项a₂₀₁₀满足（ ）
A．
B．
C．1≤a₂₀₁₀≤10
D．a₂₀₁₀＞10

二、填空题

9. 难度：中等

复数（i是虚数单位）的模等于    ．

10. 难度：中等

如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的n值为   

11. 难度：中等

已知函数，给出如下结论：
①函数f（x）的最小正周期为；  ②函数f（x）是奇函数；  ③函数f（x）的图象关于点对称；④函数f（x）在区间上是减函数．
其中正确命题的序号是    ．（写出所有正确命题的序号）

12. 难度：中等

在平面区域{（x，y）|y≤-x²+2x，且y≥0}内任意取一点P，则所取的点P恰是平面区域{（x，y）|y≤x，x+y≤2，且y≥0}内的点的概率为    ．

13. 难度：中等

在实数的原有运算法则中，定义新运算a⊗b=3a-b，则|x⊗（4-x）|+|（1-x）⊗x|＞8的解集为    ．

14. 难度：中等

（《几何证明选讲》选做题）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=70°，CF是△ABC的边AB上的高，FP⊥BC于点P，FQ⊥AC于点Q，则∠CQP的大小为    ．

15. 难度：中等

（《坐标系与参数方程》选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+2=0，则它与曲线（α为参数）的交点的直角坐标是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设向量，，其中．
（1）若，求tanθ的值；
（2）求△AOB面积的最大值．

17. 难度：中等

某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．
（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

18. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．
（1）证明：当点E在棱AB上移动时，D₁E⊥A₁D；
（2）在棱AB上是否存在点E，使二面角D₁-EC-D的平面角为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知两点M（-1，0）、N（1，0），点P为坐标平面内的动点，满足．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若点A（t，4）是动点P的轨迹上的一点，K（m，0）是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x²+（y-2）²=4的位置关系．

20. 难度：中等

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）．
（1）若函数f（x）在区间内是减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）；
（3）对（2）中的h（a），若关于a的方程有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为常数，且m＞0）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{b_n²}的前n项和．