2012年四川省绵阳实验中学“绵阳一诊”数学模拟试卷（理科补习班）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₉＜0，a₁₀＞0，则下列结论不正确的是（ ）
A．S₁₀＞S₉
B．S₁₇＜0
C．S₁₈＞S₁₉
D．S₁₉＞0

2. 难度：中等

设0＜a＜b，f（x）=（x-a）²（x-b），（x∈R），其导函数f'（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

随机变量ξ的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），其中a是常数，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=e^|x|+x²，（e为自然对数的底数），且f（3a-2）＞f（a-1），则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的连续可导奇函数，f'（1）=3，则的值为（ ）
A．3
B．-3
C．6
D．-6

6. 难度：中等

已知n∈N^*，实数a是常数，若，则a的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或

7. 难度：中等

定义在R上的连续可导函数y=f（x），其导函数为y=f'（x），下列条件是“f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件的是（ ）
A．f'（x）≥0
B．xf'（x）＞0
C．f（x+1）＞f（x）
D．（e^-x）'+f'（x）＞0

8. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，则“a_n＞0”是“数列{S_n}是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

已知数列{a_n}中，对任意n∈N^*都有a_n+2=a_n+1-a_n，若该数列前63项和为4000，前125项和为1000，则该数列前2011项和为（ ）
A．0
B．1000
C．3000
D．5000

10. 难度：中等

关于x的不等式x²+9+|x²-3x|≥kx在x∈[1，5]上恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．（-∞，6]
B．（-∞，6）
C．（0，6]
D．[6，+∞）

11. 难度：中等

设定义域为R的函数f（x），g（x）都有反函数，且函数f（x+2）和g^-1（x-3）的图象关于直线y=x对称，若g（3）=2009，则f（5）等于（ ）
A．2009
B．2010
C．2011
D．2012

12. 难度：中等

已知函数f（x）=3x-2，x∈R．规定：给定一个实数x，赋值x₁=f（x₁），若x₁≤244，则继续赋值，x₂=f（x₂），…，以此类推，若x_n-1≤244，则x_n=f（x_n-1），否则停止赋值，如果得到x_n称为赋值了n次（n∈N^*）．已知赋值k次后该过程停止，则x的取值范围是（ ）
A．（3^k-6，3^k-5]
B．（3^k-6+1，3^k-5+1]
C．（3^5-k+1，3^6-k+1]
D．（3^4-k+1，3^5-k+1]

二、填空题

13. 难度：中等

若函数g（x）=xf（x）+x³-2的图象在x=2处的切线方程为y=f（x），则f（x）=    ．

14. 难度：中等

若关于x的不等式a-x²＞|x|的解集为（-1，b），则a+b=    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+alnx，若对任意两个正数成立，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

下列命题：
①若m∈（0，1]，则；
②；
③若无穷数列，其各项和；
④；
⑤设，f'（x）为其导函数，若f'（a）=f'（b），（a≠b），则f（a）+f（b）=4．
其中正确命题有    ．（请填上你认为正确的所有命题的序号，多填少填均不得分）

三、解答题

17. 难度：中等

已知集合A=，集合B=，其中a∈（-2，2），A⊆B，求a的取值范围．

18. 难度：中等

设，g（x）=a^x．（a＞0，a≠1，x＞2）
（I）若存在x∈（2+∞），使f（x）=m成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）若任意x₁∈（2，+∞），存在x₂∈（2，+∞），使f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=3，S_n+1=2S_n+3-n，数列{b_n}满足b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n-1．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）是否存在实数λ，使数列{b_n}为等差数列或等比数列？若存在，求出数列{b_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1a_n=2a_n-a_n+1，n∈N^*．
（1）证明数列为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．