2008年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|-2＜x＜2}，B={x|x²-2x≤0}，则A∩B等于（ ）
A．（0，2）
B．（0，2]
C．[0，2）
D．[0，2]

2. 难度：中等

已知，则cos2α的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（ ）

A．
B．2π
C．3π
D．4π

4. 难度：中等

某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ ）
A．19、13
B．13、19
C．20、18
D．18、20

5. 难度：中等

已知函数f（x）=若f（a）=，则a=（ ）
A．-1
B．
C．-1或
D．1或

6. 难度：中等

已知a∈R，则“a＞2”是“a²＞2a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（ ）
A．f（x）g（b）＞f（b）g（x）
B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（x）＞f（b）g（b）
D．f（x）g（x）＞f（b）g（a）

8. 难度：中等

直线ax-y+2a=0与圆x²+y²=9的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定

9. 难度：中等

抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽多少次（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（ ）
A．14次
B．13次
C．9次
D．8次

10. 难度：中等

在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若复数z=（m²-5m+6）+（m-3）i是实数，则实数m=    ．

12. 难度：中等

在空间直角坐标系中O-xyz，点（1，-2，3）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为    ．

13. 难度：中等

按如图所示的程序框图运算：若输入x=8，则输出k=    ；若输出k=2，则输入x的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，过点作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是    ．

15. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE：EB=1：2，DE与AC交于点F，若△AEF的面积为6cm²，则△ABC的面积为    cm²．

三、解答题

16. 难度：中等

将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．
（1）求事件“x+y≤3”的概率；
（2）求事件“|x-y|=2”的概率．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=asinx+bcosx的图象经过点和．
（1）求实数a和b的值；
（2）当x为何值时，f（x）取得最大值？

18. 难度：中等

如图1所示，在边长为12的正方形AA′A₁′A₁中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A₁′与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N⁺）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）是否存在实数λ，使得数列为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知过点P（0，-1）的直线l与抛物线x²=4y相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，l₁、l₂分别是抛物线x²=4y在A、B两点处的切线，M、N分别是l₁、l₂与直线y=-1的交点．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）试比较|PM|与|PN|的大小，并说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若n∈N^*，证明：．