2012-2013学年广东省广州市海珠区高三（上）数学综合测试2（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

若集合A={3，a²}，B={2，4}，则“a=2”是“A∩B={4}”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知函数f（x）=1-2x，若a=f（log₃0.8），，，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．a＜c＜b

4. 难度：中等

已知实数x，y满足不约束条件，则目标函数z=x-y的最大值等于（ ）
A．7
B．4
C．3
D．5

5. 难度：中等

在△ABC中，若+•=0，则△ABC的形状是（ ）
A．∠C为钝的三角形
B．∠B为直角的直角三角形
C．锐角三角形
D．∠A为直角的直角三角形

6. 难度：中等

已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（ ）

A．ω=1，φ=
B．ω=1，φ=-
C．ω=2，φ=
D．ω=2，φ=-

7. 难度：中等

已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为1，其直观图和正（主）视图如图，则它的左（侧）视图和面积是（ ）

A．
B．1
C．
D．

8. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知各项不为0的等差数列{a_n}满足：，数列{b_n}是各项均为正值的等比数列，且b₇=a₇，则等于（ ）
A．
B．-
C．
D．

10. 难度：中等

给出下列四个命题：
①命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＜1；
②当x＞1时，有；
③函数的零点个数有3个；
④设有五个函数，其中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的有2个．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

11. 难度：中等

公路部门对通过某路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80）分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，图中a的值等于    ；这300辆汽车中车速低于60km/h的汽车有    辆．

12. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出M，N的值分别为    ．

13. 难度：中等

对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：2²=1+33²=1+3+54²=1+3+5+72³=3+53³=7+9+114³=13+15+17+19．根据上述分解规律，则5²=1+3+5+7+9，若m³（m∈N^*）的分解中最小的数是73，则m的值为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A的坐标为，曲线C的方程为ρ=4sinθ，则OA（O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为    ．

15. 难度：中等

（选做题）（几何证明选讲）如图所示，过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A，B两点，BA=2AP，PT与圆C相切于T点．
已知圆C的半径为2，∠CAB=30°，则PT=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，并求此时x的值．

17. 难度：中等

一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：

实验顺序	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
零件数x（个）	10	20	30	40	50
加工时间y（分钟）	62	67	75	80	89

（1）在5次试验中任取2次，记加工时间分别为a，b，求事件“a，b均小于80分钟”的概率；
（2）请根据第二次，第三次，第四次试验的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）根据（2）得到的线性回归方程预测加工70个零件所需要的时间．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：OM∥平面PAB；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（3）当四棱锥P-ABCD的体积等于时，求PB的长．

19. 难度：中等

设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为-，求椭圆的离心率；
（2）对于由（1）得到的椭圆C，过点P的直线l交x轴于点Q（-1，0），交y轴于点M，若，求直线l的斜率．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在[1，e]的最小值为，求a的值；
（3）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）．…都在函数的图象上．
（1）若数列{b_n}是等差数列，求证数列{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的前n项和是，过点P_n，P_n+1的值线与两坐标轴所围三角形面积为c_n，求最小的实数t使c_n≤t对n∈N^*恒成立；
（3）若数列{b_n}为由（2）中{a_n}得到的数列，在b_k与b_k+1之间插入3^k-1（k∈N^*）个3，得一新数列{d_n}，问是否存在这样的正整数m，使数列{d_n}的前m项的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．