2011年江苏省苏北四市高考数学二模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若（i是虚数单位）是实数，则实数a 的值是    ．

2. 难度：中等

已知集合A={x|x＞1}，B={x|x²-2x＜0}，则A∪B=    ．

3. 难度：中等

为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取20名教师，调查他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中使用多媒体进行教学次数在[15，25）内的人数是    ．

4. 难度：中等

在如图所示的流程图中，输出的结果是    ．

5. 难度：中等

若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x²+y²=16内的概率是    ．

6. 难度：中等

在约束条件下，则的最小值是    ．

7. 难度：中等

一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是    ．

8. 难度：中等

已知集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|x²+y²≤r²，r＞0}若点（x，y）∈A是点（x，y）∈B的必要条件，则r的最大值是    ．

9. 难度：中等

已知点A（0，2）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线与点B，过B做l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=    ．

10. 难度：中等

若函数，则函数y=f（f（x））的值域是    ．

11. 难度：中等

在直三棱柱中，AC⊥BC，AC=4，BC=CC₁=2，若用平行于三棱柱A₁B₁C₁-ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小 值为    ．

12. 难度：中等

已知椭圆，A、B是其左右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆与点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为    ．

13. 难度：中等

在三角形ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB，AC与M、N两点，设则4x+y的最小值是    ．

14. 难度：中等

如图，是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为   

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，
OB=2，设
（1）用θ表示OA
（2）求的最小值．

16. 难度：中等

如图，已知四面体ABCD的四个面均为锐角三角形，EFGH分别是边AB，BC，CD，DA上的点，BD||平面EFGH，且EH=FG．
（1）求证：HG||平面ABC
（2）请在平面ABD内过点E做一条线段垂直于AC，并给出证明．

17. 难度：中等

如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，过点H（0，t）的直线l于圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）当t=1时，求出直线l的方程；
（3）求直线OM的斜率k的取值范围．

18. 难度：中等

心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x 天后的存留量；若在t（t＞0）天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y₂随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”
（1）若a=-1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；
（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知各项均为正数的等差数列{a_n}的公差d不等于0，设a₁，a₃，a_k是公比为q的等比数列{b_n}的前三项，
（1）若k=7，a₁=2；
（i）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n；
（ii）将数列{a_n}和{b_n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c_n}，设其前n项和为S_n，求的值
（2）若存在m＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比数列，求证k为奇数．

20. 难度：中等

已知函数
（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；
（2）若f（x）＜f₂（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）当时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．