2012年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收人家庭．现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为（ ）
A．70 户
B．17 户
C．56 户
D．25 户

2. 难度：中等

复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

若首项为1的等比数列{a_n}（n∈N^*）的前3项和为13，则公比q为（ ）
A．3
B．-4
C．3 或-4
D．-3 或 4

4. 难度：中等

已知向量i与j不共线，且，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（ ）
A．m+n=1
B．m+n=-1
C．mn=1
D．mn=-1

5. 难度：中等

“0＜m＜l”是“关于x的方程x²+x+m²-1=0有两个异号实数根”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

若展开式的各项系数和为，则展开式中常数项是（ ）
A．-7
B．7
C．
D．

7. 难度：中等

在用数学归纳法证明f（n）=++…+＜1（n∈N^*，n≥3）的过程中：假设当n=k（k∈N^*，k≥3）时，不等式f（k）＜1成立，则需证当n=k+1时，f（k+1）＜1也成立．若f（k+1）=f（k）+g（k），则g（k）=（ ）
A．+
B．+-
C．-
D．-

8. 难度：中等

设电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asin（wt+φ）（A＞0，w，0＜φ＜π）的图象如图所示，则（ ）

A．A=10，w=25π
B．w=100π，φ=
C．A=10，φ=
D．w=100π，φ=

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x-4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则在直角坐标系中函数g（x）=的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设正方体ABC-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2，动点E，F在棱A₁B₁上，动点P、Q分别在棱AD、CD上，若EF=1，A₁E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z＞0），则下列结论中错误的是（ ）
A．EF∥平面DPQ
B．二面角P-EF-Q所成角的最大值为
C．三棱锥P-EFQ的体积与y的变化有关，与x、z的变化无关
D．异面直线EQ和AD₁所成角的大小与x、y的变化无关

11. 难度：中等

已知定义在R上的连续奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，有下列命题：
①函数f（x）的图象关于直线x=4k+2（k∈Z）对称；
②函数f（x）的单调递增区间为[8k-6，8k-2]（k∈Z）；
③函数f（x）在区间（-2012，2012）上恰有1006个极值点；
④若关于x的方程f（x）-m=0在区间[-8，8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8．
其中真命题的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个

12. 难度：中等

设集合S={1，2，3，4，5，6}，定义集合对（A，B）：A⊆S，B⊆S，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素．记满足A∪B=S的集合对（A，B）的总个数为m，满足A∩B≠∅的集合对（A，B）的总个数为n，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

sin45°cos15°+cos45°sin15°的值为    ．

14. 难度：中等

若函数在点处连续，则实数a=    ．

15. 难度：中等

已知A，B，C，D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=6，，AD=8，则B，C两点间的球面距离是    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）在[a，b]上连续，定义；其中f（x）_min（x∈D）表示f（x）在D上的最小值，f（x）_max（x∈D）表示f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．有下列命题：
①若f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f₁（x）=1，x∈[0，π]；
②若f（x）=2^x，x∈[-1，4]，则
③f（x）=x为[1，2]上的1阶收缩函数；
④f（x）=x²为[1，4]上的5阶收缩函数．
其中你认为正确的所有命题的序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数的周期为2π，其中ω＞0．
（I）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（II）在△ABC中，设内角A、B、C所对边的长分别为a、b，c若a=，c=2，f（A）=，求b的值．

18. 难度：中等

如图1，△ABC是边长为6的等边三角形，，点G为BC边的中点，线段AG交线段ED于点F．将△AED沿ED翻折，使平面AED丄平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图2的几何体．
（I）求证：BC丄平面AFG
（II）求二面角B-AE-D的大小．

19. 难度：中等

某社区为丰富居民的业余文化生活，准备召并一次趣味运动会．在“射击气球”这项比赛活动中，制定的比赛规则如下规则：每人只参加一场比赛，每场比赛每人都依次射击完编号为①、②、③、④、⑤的5个气球，每次射击一个气球；若这5次射击中，④、⑤号气球都被击中，且①、②、③号气球至少有1个被击中，则此人获奖；否则不获奖．已知甲每次射击击中气球的概率都为，且各次击结果互不影响．
（I）求甲在比赛中获奖的概率；
（II）求甲至少击中了其中3个气球但没有获奖的概率．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2mx+2-m．
（I）若不等式f（x）≥x-mx在R上恒成立，求实数m的取值范围；
（II）记A={y|y=f（x），0≤x≤1}，且A⊆[0，+∞]，求实数m的最大值．

21. 难度：中等

巳知各项均为正数的等差数列{a_n}三项的和为27，且满足a₁a₃=65数列{b_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n，点（n，S_n）都在函数图象上．
（I） 求数列{a_n}、{b_n}通项公式；
（II）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}前n项和T_n；
（III）设，若d_n+1＞d_n，n∈N^*成立，试证明：．

22. 难度：中等

已知函数，m＜0．
（I）当m=-1时，求函数的单调区间；
（II）已知m（其中e是自然对数的底数），若存在实数，使f（x）＞e+1成立，证明：2m+e+l＜0；
（III）证明：．