2013年浙江省领航高考数学冲刺试卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知，则f（2）+f（-2）的值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．2

3. 难度：中等

已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（ ）
A．-
B．
C．2
D．1

4. 难度：中等

执行程序框图，输出的S和n的值分别是（ ）

A．9，3
B．9，4
C．11，3
D．11，4

5. 难度：中等

设m，n是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）
A．过m且与n平行的平面有且只有一个
B．过m且与n垂直的平面有且只有一个
C．m与n所成的角的范围是（0，π）
D．过空间一点P与m、n均平行的平面有且只有一个

6. 难度：中等

已知函数y=loga（x-1）+3（a＞0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a_n}的第二项与第三项，若，数列{b_n}的前n项和为T_n，则T₁₀=（ ）
A．
B．
C．1
D．

7. 难度：中等

设函数，若f（x₁）＞f（x₂），则下列不等式必定成立的是（ ）
A．x₁+x₂＞0
B．x₁²＞x₂²
C．x₁＞x₂
D．x₁＜x₂

8. 难度：中等

袋中共有7个大小相同的球，其中3个红球、2个白球、2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至少有2个红球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知点P（x，y），Q（1，0），且实数x，y满足不等式组，点O为坐标原点，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么就称y=f（x）为“成功函数”．若函数g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0，a≠1）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围为（ ）
A．（0，+∞）
B．（-∞，0）
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

计算sin75°sin165°-sin15°sin105°=    ．

12. 难度：中等

一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为    

13. 难度：中等

甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率分别是和，则面试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ是    ．

14. 难度：中等

设、为两非零向量，且满足||+||=2，2•=²•²，则两向量、的夹角的最小值为    ．

15. 难度：中等

若，则a₁+（a+a₂）+（a+a₃）+…+（a+a₂₀₁₂）=    ．

16. 难度：中等

已知直线上n个点最多将直线分成段，平面上n条直线最多将平面分成部分（规定：若k＞n则=0），则类似地可以推算得到空间里n个平面最多将空间分成    部分．

17. 难度：中等

已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线过椭圆和椭圆（a≤1）的交点，则双曲线的离心率的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量=（2，-1），=（sin，cos（B+C）），A、B、C为△ABC的内角的内角，其所对的边分别为a，b，c
（1）当•取得最大值时，求角A的大小；
（2）在（1）的条件下，当a=时，求b²+c²的取值范围．

19. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且公比q≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足bn=，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：当n≥5时，a_nS_n＜1．

20. 难度：中等

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，底面A₁B₁C₁D₁ 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA₁上任意一点．
（Ⅰ）证明：BD⊥EC₁；
（Ⅱ）如果AB=2，AE=，OE⊥EC₁，求AA₁ 的长．

21. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2，0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．