2013年福建省三明市高三质量检查数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知0＜α＜π，且，则cosα等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若等差数列{a_n}的前5项和S₅=25，则a₃等于（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

3. 难度：中等

“a=-1”是“直线a²x-y+6=0与直线4x-（a-3）y+9=0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

如图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是（ ）

A．找出a、b、c三个数中最大的数
B．找出a、b、c三个数中最小的数
C．找出a、b、c三个数中第二大的数
D．把c的值赋给a

5. 难度：中等

若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n
B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β

6. 难度：中等

已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的离心率e=2，过双曲线Γ的左焦点F作⊙O：x²+y²=a²的两条切线，切点分别为A、B，则∠AFB的大小等于（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°

7. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2x+acos2x图象的一条对称轴方程为，则实数a的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知正实数a，b满足不等式ab+1＜a+b，则函数f（x）=log_a（x+b）的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在Rt△PAB中，PA=PB，点C、D分别在PA、PB上，且CD∥AB，AB=3，AC=，则的值为（ ）
A．-7
B．0
C．-3
D．3

10. 难度：中等

若数列{a_n}满足a≤a_n≤b，其中a、b是常数，则称数列{a_n}为有界数列，a是数列{a_n}的下界，b是数列{a_n}的上界．现要在区间[-1，2）中取出20个数构成有界数列{b_n}，并使数列{b_n}有且仅有两项差的绝对值小于，那么正数m的最小取值是（ ）
A．5
B．
C．7
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知复数z₁=2+i，z₂=4-3i在复平面内的对应点分别为点A、B，则A、B的中点所对应的复数是    ．

12. 难度：中等

已知函数，且则函数g（x）的最小值是    ．

13. 难度：中等

若（1+x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+xⁿ，（n∈N^*），且a₁：a₂=1：3，则n=    ．

14. 难度：中等

若函数f（x）=m^x-1+1（m，0，且m≠1）恒过定点A，而点A恰好在直线2ax+by-2=0上（其中a，0，b，0）则式子的最小值为    ．

15. 难度：中等

如图，标识为①、②、③、④的四张牌，每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母．现在规定：当牌的一面写的是数字3时，它的另一面必须写字母M．为了检查这四张牌是否符合规定，你仅需翻看的牌的标识为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某工厂共有工人40人，在一次产品大检查中每人的产品合格率（百分比）绘制成频率分布直方图，如图所示．
（Ⅰ） 求合格率在[50，60）内的工人人数；
（Ⅱ）为了了解工人在本次大检查中产品不合格的情况，从合格率在[50，70）内的工人中随机选取3人的合格率进行分析，用X表示所选工人合格率在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB=1，AD=CD=2，E在线段PD上．
（Ⅰ）若E是PD的中点，试证明：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P-ABCD的侧视图的面积．

18. 难度：中等

已知抛物线Γ：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆4x²+20y²=5的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；
（Ⅱ）动直线l恒过点M（0，1）与抛物线Γ交于A、B两点，与x轴交于C点，请你观察并判断：在线段MA，MB，MC，AB中，哪三条线段的长总能构成等比数列？说明你的结论并给出证明．

19. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数是f′（x）=3x²+2mx+9，f（x）在x=3处取得极值，且f（0）=0．
（Ⅰ）求f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）记f（x）在闭区间[0，t]上的最大值为F（t），若对任意的t（0＜t≤4）总有F（t）≥λt成立，求λ的取值范围；
（Ⅲ）设M（x，y）是曲线y=f（x）上的任意一点．当x∈（0，1]时，求直线OM斜率的最小值，据此判断f（x）与4sinx的大小关系，并说明理由．

20. 难度：中等

某公园里有一造型别致的小屋，其墙面与水平面所成的角为θ，小屋有一扇面向正南的窗户，现要在窗户的上方搭建一个与水平面平行的遮阳篷，如图1所示．如图2是遮阳篷的截面示意图，AB表示窗户上、下边框的距离，AB=m，CD表示遮阳篷．已知该公园夏季正午太阳最高这一天，太阳光线与水平面所成角为α，冬季正午太阳最低这一天，太阳光线与水平面所成角为β（α＞β）．若要使得夏季正午太阳最高这一天太阳光线不从窗户直射进室内，而冬季正午太阳最低这一天太阳光线又恰能最大限度地直射进室内，那么遮阳篷的伸出长度CD和遮阳篷与窗户上边框的距离BC各为多少？

21. 难度：中等

（1）选修4-2：矩阵与变换
设矩阵．
（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（II）若曲线C：x²+4xy+2y²=1在矩阵M的作用下变换成曲线C'：x²-2y²=1，求a+b的值．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．圆C的参数方程为（α为参数），点Q极坐标为．
（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；
（Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P、Q两点距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x+1|+|x-2|．
（Ⅰ）求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥4的解集为A，求集合A．