2013年山东省实验中学高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

己知集合Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8

2. 难度：中等

已知幂函数f（x）的图象经过（9，3），则f（2）-f（1）=（ ）
A．3
B．
C．
D．1

3. 难度：中等

若log_a2＜log_b2＜0，则（ ）
A．0＜a＜b＜1
B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1
D．b＞a＞1

4. 难度：中等

由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．1
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在△ABC中，若0＜tanA•tanB＜1，那么△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．形状不确定

7. 难度：中等

若f（x）是R上的增函数，且f（-1）=-4，f（2）=2，设P={x||f（x+t）+1|＜3}，Q={x|f（x）＜-4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（ ）
A．t≤-1
B．t≥-1
C．t≤-3
D．t≥3

8. 难度：中等

我们常用以下方法求形如y=f（x）^g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x），于是得到：y′=f（x）^g（x）[g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x）]，运用此方法求得函数y=的一个单调递增区间是（ ）
A．（e，4）
B．（3，6）
C．（0，e）
D．（2，3）

9. 难度：中等

由等式定义映射f（a₁，a₂，a₃，a₄）→b₁+b₂+b₃+b₄，则f（4，3，2，1）→（ ）
A．10
B．7
C．-1
D．0

10. 难度：中等

方程有解，则a的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．

11. 难度：中等

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根在区间[0，2013]内根的个数为（ ）
A．2011
B．1006
C．2013
D．1007

12. 难度：中等

已知函数和函数，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．[1，2）
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在△ABC中，，则此三角形为    ．

14. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=|2x-a|+a，若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，则实数a的值为    ．

16. 难度：中等

对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：
①q=0时，f（x）为奇函数
②y=f（x）的图象关于（0，q）对称
③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根
④方程f（x）=0至多有两个实数根
其中正确命题的序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知cosα=，cos（α-β）=，且0＜β＜α＜，
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求β．

18. 难度：中等

已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x²+ax-2＞0恒成立；命题q：函数是区间[1，+∞）上的减函数．若命题“p∀q”是真命题，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

20. 难度：中等

已知f（x）=log₃，x∈（0，+∞），是否存在实数a、b，使f（x）同时满足下列两个条件：
（1）f（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；
（2）f（x）的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．
（Ⅰ）求a，b的值：
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（3）求证：对于任意的成立．