2013年四川省成都市高考数学零诊试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（理科）复数的值为（ ）
A．-8
B．8
C．-8i
D．8i

2. 难度：中等

集合M={y|y=10^-|x|}、N={x|y=}，则M∩N=（ ）
A．{x|x≥3}
B．{x|x≤}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|0＜x≤}

3. 难度：中等

已知函数，直线x=a与f（x），g（x）的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．

4. 难度：中等

设四棱锥P-ABCD的底面ABCD是单位正方形，PB⊥底面ABCD且PB=，记∠APD=θ，sinθ=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

数列a₁，a₂，…，a₇，其中恰好有5个2008和2个2009，这样的互不相同的数列的个数是（ ）
A．21
B．42
C．72
D．5040

6. 难度：中等

在直角坐标中，函数f（x）=（a＞0）所表示的曲线为箕舌线，则箕舌线可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

向量，则向量的夹角的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若不等式|x-1|＜a成立的充分条件为0＜x＜4，则实数a取值范围是（ ）
A．[3，+∞]
B．[1，+∞]
C．（-∞，3]
D．（-∞，1]

9. 难度：中等

直线l：y=k（x-2）+2与圆C：x²+y²-2x-2y=0相切，则直线l的一个方向向量v=（ ）
A．（2，-2）
B．（1，1）
C．（-3，2）
D．（1，）

10. 难度：中等

等差数列{a_n}{b_n}前n项和分别为Sn，Tn，=，则使为整数的正整数n有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．大于3个

11. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）在（6，+∞）为减函数且函数y=f（x+6）为偶函数，则（ ）
A．f（4）＞f（5）
B．f（4）＞f（7）
C．f（5）＞f（8）
D．f（5）＞f（7）

12. 难度：中等

椭圆+y²=1的右焦点为F，A、B、C为该椭圆上的三点，若++=，则||+||+||=（ ）
A．
B．3
C．
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

的展开式中，常数项为    ．

14. 难度：中等

三棱锥P-ABC内接于球O，如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a，则球心O到平面ABC的距离是    ．

15. 难度：中等

（理科）已知，其中0＜c＜b＜a＜1，则x，y，z的大小关系为    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，若（cosA+sinA）（cosB+sinB）=2，则角C=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在锐角△ABC中，已知5•=4||•||，设=（sinA，sinB），=（cosB，-cosA）且•=，
求：（1）sin（A+B）的值；（2）tanA的值．

18. 难度：中等

某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．

19. 难度：中等

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，CB=CD=2 ，AA₁=，AB⊥BC，AC与BD交于点E．
（1）求证：BD⊥A₁C；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的大小；
（3）求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

20. 难度：中等

设函数f（x）=-+2ax²-3a²x+b（常数a，b满足0＜a＜1，b∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意的x∈[a+1，a+2]，不等式|f'（x）|≤a恒成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

如图，线段AB过y轴上一点N（0，m），AB所在直线的斜率为k（k≠0），两端点A，B到y轴的距离之差为4k．
（1）求出以y轴为对称轴，过A，O，B三点的抛物线方程；
（2）过抛物线的焦点F作动弦CD，过C，D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出的值．

22. 难度：中等

根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x∈A，计算出x₁=f（x）；
②若x∉A，则数列发生器结束工作；
若x∈A，则输出x₁，并将x₁反馈回输入端，再计算出x₂=f（x₁）．并依此规律继续下去．
现在有A={x|0＜x＜1}，（m∈N^*）．
（1）求证：对任意x∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{x_n}；
（2）若，记（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在得条件下，证明（m∈N^*）．