2013年广东省汕尾市陆丰市启恩中学高考数学全真模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|x+y=0，x，y∈R}；B=[（x，y）|x-y=0，x，y∈R]，则集合A∩B=（ ）
A．（0，0）
B．x=0∪y=0
C．0
D．{（0，0）}

2. 难度：中等

的值是（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

3. 难度：中等

已知向量，，若向量⊥，则x=（ ）
A．2
B．-2
C．8
D．-8

4. 难度：中等

已知a＞0，且a≠1，（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．奇偶性与a有关

5. 难度：中等

已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中：
①若α∥β，l⊂α，则l∥β    ②若α∥β，l⊥α，则l⊥β
③若l∥α，m⊂α，则l∥m      ④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β其中，真命题有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

6. 难度：中等

给出计算 的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞10
B．i＜10
C．i＞20
D．i＜20

7. 难度：中等

lgx，lgy，lgz成等差数列是由y²=zx成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=ab+a+b²（a，b为正实数），若1⊗k=2，则k=（ ）
A．-2
B．1
C．-2或1
D．2

二、填空题

9. 难度：中等

在约束条件下，函数S=2x+y的最大值为    ．

10. 难度：中等

如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为    ．

11. 难度：中等

的展开式中的常数项是    ．（用数字作答）

12. 难度：中等

一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：（其中x，y∈N^*）

分/组	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）
频 数	2	x	3	y	2	4

 则样本在区间[10，50 ） 上的频率    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），则a₄=    ，该数列的通项公式a_n=    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN切⊙O于A，∠MAB=25^•，则∠D=    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l，
求：
（1）角C的大小；
（2）△ABC最短边的长．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3．
（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围．

18. 难度：中等

一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．
（1）依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
（2）有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
（3）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望．

19. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．
（1）求证：PA⊥EF；
（2）求二面角D-FG-E的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若n∈N^*，证明：．

21. 难度：中等

已知抛物线L：x²=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足．
（1）求实数p的取值范围；
（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．