2011-2012学年浙江省杭州市余杭高级中学高三（上）第二次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知（1+i）•z=-i，那么复数对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

设集合A={x|x²-1＞0}，B={x|log₂x＜1}，则A∩B等于（ ）
A．{x|x＜-1}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|1＜x＜2或x＜-1}

3. 难度：中等

如果对于任意实数x，＜x＞表示不小于x的最小整数，例如＜1，1＞=2，＜-1，1＞=-1，那么“|x-y|＜1”是“＜x＞=＜y＞”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和S_n=n²，则a₈的值为（ ）
A．15
B．16
C．49
D．64

5. 难度：中等

在北京召开的第24届国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角记作θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin²θ-cos²θ的值等于（ ）
A．1
B．
C．
D．-

6. 难度：中等

已知非零向量、满足|+|=|-|=||，则+与-的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

7. 难度：中等

设函数f（x）=g（x）+x²，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．4
B．-
C．2
D．-

8. 难度：中等

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

定义一种运算a⊕b=，令f（x）=（cos²x+sinx）⊕，且x∈[0，]，则函数f（x-）的最大值是（ ）
A．
B．1
C．-1
D．-

10. 难度：中等

已知f（x）=x²-2x+c，f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n≥2，n∈N^*），若函数y=f_n（x）-x不存在零点，则c的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，7），若（）∥，则k=    ．

12. 难度：中等

若函数f（x）=2^x+|1-log₂x|，则f（4）=    ．

13. 难度：中等

设f（x）=cos2x-2（1+cosx）的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a_4n-3=1，a_4n-1=0，a_2n=a_n，n∈N^*，则a₂₀₁₂=    ．

15. 难度：中等

已知，且，则=    ．

16. 难度：中等

当一个非空数集F满足条件“如果a，b∈F，则a+b，a-b，a•b∈F，并且当b≠0时，∈F”时，我们就称F为一个数域．以下四个关于数域命题：
①0是任何数域的元素；
②若数域F中有非零元素，则2011∈F；
③集合p={x|x=3k，k∈Z}是一个数域；
④有理数是一个数域．
其中正确命题的序号为    ．

17. 难度：中等

给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin=．
（1）求cos C的值；
（2）若△ABC的面积为，且sin²A+sin²B=sin²C，求a，b及c的值．

19. 难度：中等

首项为a₁，公差为d的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₇=-2，S₅=30．
（1） 求a₁及d；
（2） 若数列{b_n}满足a_n=（n∈N*），求数列{b_n}的通项公式．

20. 难度：中等

已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当-1＜x≤0时，f（x）=e^-x；当0＜x≤1时，f（x）=4x²-4x+1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=f（x）-kx（k＞0），求函数g（x）在x∈[0，5]时的零点个数．

21. 难度：中等

已知向量=（2cos，tan（+）），=（sin（+），tan（-）），令f（x）=．
（1）求当x∈（，）时函数f（x）的值域；
（2）是否存在实数x∈[0，π]，使f（x）+f′（x）=0（其中f′（x）是f（x）的导函数）？若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之．

22. 难度：中等

设函数f（x）=（x-1）²+blnx，其中b为常数．
（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式都成立．