2012-2013学年湖北省荆州中学高三第二次质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知M={3，2^a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N真子集个数是（ ）
A．4
B．3
C．8
D．7

2. 难度：中等

的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

3. 难度：中等

函数的定义域为R，且满足f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，若，则=（ ）
A．-9
B．9
C．-3
D．3

4. 难度：中等

定义方程f（x）=f′（x）的实数根x叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x³-1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A．α＞β＞γ
B．β＞α＞γ
C．γ＞α＞β
D．β＞γ＞α

5. 难度：中等

已知两点A（1，0）B（1，），则O为坐标原点，点C在第三象限，且∠AOC=150°，设等于（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

6. 难度：中等

已知向量 且与的夹角为锐角，则k的取值范围是 （ ）
A．（-2，+∞）
B．
C．（-∞，-2）
D．（-2，2）

7. 难度：中等

使函数的图象关于原点对称，且满足对于内任意两个数x₁，x₂，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0的θ的一个取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

甲船在岛的正南B处，以4km/h的速度向正北航行，AB=10km，同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

定义在R上的可导函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x-2）=f（x+2），且当x∈[2，4]时，f（x）=x²+2xf^′（2），则f（-）与f（）的大小关系是（ ）
A．f（-）=f（）
B．f（-）＜f（）
C．f（-）＞f（）
D．不确定

二、填空题

11. 难度：中等

已知△ABC中，，线段AM，BN相交于H点，若，则λ=    ．

12. 难度：中等

若函数f（x）=x³-12x在（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围为    ．

13. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是    ．

14. 难度：中等

函数y=（0＜x＜4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则=    ．

15. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=．若函数g（x）=f（x）-log_a（x+2）（a＞1）在区间（-2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数，（a∈R）
（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值．

17. 难度：中等

设A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

已知函数，且．（e是自然对数的底数）
（1）求a与b的关系式；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．

19. 难度：中等

某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%．现有三个奖励模型：，分析与推导哪个函数模型能符合该公司的要求？并给予证明．（注：1.002⁵⁰⁰≈2.7）

20. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点）．当|AB|= 时，求实数t的值．

21. 难度：中等

已知函数f （x）=e^g（x），g （x）=（e是自然对数的底），
（1）若函数g （x）是（1，+∞）上的增函数，求k的取值范围；
（2）若对任意的x＞0，都有f （x）＜x+1，求满足条件的最大整数k的值；
（3）证明：ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n （n+1）]＞2n-3 （n∈N*）．