2012-2013学年江西省红色六校高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合P={x|＞0}，Q={x|-1＜x≤0}，则P∪（∁_UQ）=（ ）
A．{x|x≤-1或x＞0}
B．{x|x≤-1或x＞1}
C．{x|x＜-2或x＞1}
D．{x|x＜-2或x＞0}

2. 难度：中等

若f（x）=，则f（-4）=（ ）
A．2
B．
C．32
D．

3. 难度：中等

设原命题：若a+b≥2，则a，b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题

4. 难度：中等

在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y=x，y=，y=x²，y=x³，y=x^-1的部分图象，则函数y=的图象通过的阴影区域是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如果数列{a_n}的前n项和S_n=n²-10n（n=1，2，3，…），则数列{na_n}中数值最小的项是第几项（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

6. 难度：中等

已知f（x）=log₂x-（）^x，x为其零点，且f（a）•f（b）•f（c）＜0，0＜a＜b＜c，则不可能有（ ）
A．x＜c
B．0＜x＜a
C．x＜b
D．x＞a

7. 难度：中等

在△ABC所在平面内，O为△ABC外一点，若动点P满足=+，则P点的运动轨迹经过△ABC的（ ）
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心

8. 难度：中等

已知：f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-10），则f′（2）的值为        （ ）
A．2×8!
B．8!
C．2×7!
D．7!

9. 难度：中等

函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图所示，则f（1）+f（-1）的值一定（ ）
A．等于0
B．大于0
C．小于0
D．小于或等于0

10. 难度：中等

定义域R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1]∪（0，3]
B．
C．[-1，0）∪[3，+∞）
D．

二、填空题

11. 难度：中等

（理）    ．

12. 难度：中等

已知sin（-x）=，则sin2x的值为     ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x₁，x₂，且方程f（x）=m有两个不同的实根x₃，x₄，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为    ．

14. 难度：中等

已知f（x）=ln（x²+1），g（x）=（）^x-m，若任取x₁∈[0，3]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），则m的取值范围    ．

15. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题
（1）函数f（x）=x³-x²+3x-的对称中心为    ；
（2）计算+…+f（）=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=1，且b²=ac，求sinA的值．

17. 难度：中等

已知函数（x∈R），
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对任意x∈R恒成立；命题q：函数y=（m²-1）^x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

已知A，B，C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量，，满足，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何整数n都有：
（1）若数列{a_n}是首项和公差都有1的等差数列，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若{b_n}=2ⁿ，试判断数列{a_n}是否是等差数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由．

20. 难度：中等

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．
（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）-x=0只有一个实根；
（2）判断函数g（x）=是否是集合M中的元素，并说明理由；
（3）设函数f（x）为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意α，β，证明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

21. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有
f（x+y）=f（x）f（y）
（Ⅰ）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）数列{a_n}满足a₁=f（0），且
①求{a_n}通项公式．
②当a＞1时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．