2012年辽宁省鞍山一中高考数学五模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果P={x|x≤3}，那么（ ）
A．-1⊆P
B．{-1}∈P
C．∅∈P
D．{-1}⊆P

2. 难度：中等

“∃x∈A，使得x²-2x-3＞0”的否定为（ ）
A．∃x∈A，使得x²-2x-3＜0
B．∃x∈A，使得x²-2x-3≤0
C．∀x∈A，使得x²-2x-3＞0
D．∀x∈A，使得x²-2x-3≤0

3. 难度：中等

已知f（n）=i^-n-i^-n（i²=-1，n∈N），集合f（n）的元素个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．无数个

4. 难度：中等

为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛、为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计、则分数在60.5～70.5的学生有（ ）名

A．4
B．8
C．9
D．16

5. 难度：中等

若向量和满足：，，则与所夹的角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

6. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积S=c²-（a-b）²，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

若=，则sinα+cosα的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

以下四个命题：其中正确的个数为（ ）
①△ABC中，A＞B的充分条件是sinA＞sinB，
②函数y=f（x）在区间（1，2）上存在零点的充要条件是f（1）f（2）＜0；
③等比数列{a_n} 中，a₁=1，a₅=16，则a₃=±4；
④把函数y=sin（2-2x）的图象向右平移2个单位后得到的图象对应的解析式为y=sin（4-2x）
A．0个
B．1个
C．2 个
D．3 个

10. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．+1
C．
D．

11. 难度：中等

已知曲线C：，下列叙述中错误的是（ ）
A．垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点
B．直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点
C．曲线C关于直线y=-x对称
D．若P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）为曲线C上任意两点，则有

12. 难度：中等

已知空间4个球，它们的半径分别为2，2，3，3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x=    ．

14. 难度：中等

在（1-x³）（1+x）¹⁰展开式中，x⁵的系数是    ．

15. 难度：中等

已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为    cm²．

16. 难度：中等

已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x²）＜的解集为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}  满足a_n+1=3a_n-4n+4，n∈N^*，且a₁=2．若b_n=a_n-2n+1，n∈N^*，
（1）求证：{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}  的前n项和．

18. 难度：中等

如图，在五面体ABCDE中，平面BCD⊥平面ABC，DC=DB=，AC=BC=2ED=2，AC⊥BC，且ED∥AC    
（1）求证：平面ABE⊥平面ABC
（2）在线段BC上有一点F，且，求二面角F-AE-B的余弦值．

19. 难度：中等

某学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、平、负的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班级胜场多于负场．
（1）求该班级胜场多于负场的所有可能的比赛结果总数；
（2）若记该班级胜场次数为X，求X的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率等于，且经过点（1，），
（1）求椭圆C的方程；
（2）若经过点（-1，）的直线l与椭圆C交于A、B两个不同点，且满足（O为坐标原点）关系的点M也在椭圆C上，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-x-1
（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x≥0时，f（x）≥tx²恒成立，求t的取值范围；
（3）设n∈N^*，求证：．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．
（Ⅰ）求证：OE=AC；
（Ⅱ）求证：=．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．

24. 难度：中等

已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求实数x的取值范围．