2012-2013学年湖北省部分重点中学高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|-2＜x＜4}，N={x|y=1n（x+1）}，则M∩N等于（ ）
A．{x|-2＜x＜π}
B．{x|π＜x＜4}
C．{x|0＜x＜π}
D．{x|0＜x＜4}

2. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x∈R，sinx≥1
B．命题“∀x∈R，2^x＞x²ⁿ”的否定是“∀x∈R，2^x≤x²ⁿ”
C．的充要条件是x＜1
D．f（x）≤M是函数f（x）的最大值为M的充分条件

3. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．2
B．1
C．
D．

4. 难度：中等

要得到函数y=sinx-cosx的图象，只需将函数y=cosx-sinx的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个难位长度
C．向右平移π个单位长度
D．向左平移个单位长度

5. 难度：中等

已知平面α、β直线l，若α⊥β，α∩β=l，则（ ）
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．与平面α，β都平行的直线一定平行于直线l
C．平行于直线l的直线与平面α，β都平行
D．垂直于平面β的直线一定平行于平面α

6. 难度：中等

函数f（x）是R上的增函数且f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）则（ ）
A．a＞b＞0
B．a-b＞0
C．a+b＞0
D．a＞0，b＞0

7. 难度：中等

f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（ ）．
A．f（x-1）一定是奇函数
B．f（x-1）一定是偶函数
C．f（x+1）一定是奇函数
D．lgx+lgy一定是偶函数

8. 难度：中等

函数，则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．方程f（f（x））=x的解为x=1
C．f（x）是周期函数
D．方程f（f（x））=f（x）的解为x=1

9. 难度：中等

已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+]=3”，则方程f（x）=2+的解的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．O

10. 难度：中等

已知数列A：a₁，a₂，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜…a_n，n≥3）具有性质P；对任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：
①数列0，2，4，6具有性质P；
②若数列A具有性质P，则a₁=0；
③若数列A具有性质P且a₁≠0a_n-a_n-k=a_k（k=1，2，…，（n-1）；
④若数列a₁，a₂，a₃（0≤a₁＜a₂＜a₃）具有性质P，则a₃=a₁+a₂
其中真命题有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

二、填空题

11. 难度：中等

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，若S₁，2S₂，3S₃成等差数列，则公比q等于    ．

12. 难度：中等

设，，是单位向量，且，则向量，的夹角等于    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+sinx，x（-1，1），如果f（1-m）+f（1-m²）＜0，则m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

点A是函数f（x）=sinx的图象与x轴的一个交点（如图所示），若图中阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，那么边AB的长等于    ．

15. 难度：中等

已知正实数x，y，记m为x和中较小者，则m的最大值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．

17. 难度：中等

某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额R（单位：元）与日产量x满足函数关系式，已知每日的利润L=S-C，且当x=2时，L=3
（I）求k的值；
（II）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；
（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（Ⅲ）若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．

19. 难度：中等

已知a＞0，函数（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）设数列{a_n}的通项，S_n是前n项和，证明：S_n-1＜lnn（n≥2）．

20. 难度：中等

设S_n为数列{a_n}的前n项和为S_n=λa_n-1（λ，为常数，n=1，2，3…）．
（1）若，求λ的值；
（2）是否存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（3）当λ=2量，若数列{c_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且，令，求数列{a_n}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x．（其中e是自然对数的底数）
（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x，y），求证：x=1；
（Ⅱ）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．