2012-2013学年浙江省温州市鳌江中学高三数学专题2：导数及其应用（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=x³-x²-x+1在闭区间[-1，1]上的最大值是（ ）
A．
B．
C．0
D．-

2. 难度：中等

过曲线y=x³+x-2上的点P的切线平行于直线y=4x-1，则切点P的坐标为（ ）
A．（0，-1）或（1，0）
B．（1，0）或（-1，-4）
C．（-1，-4）或（0，-2）
D．（1，0）或（2，8）

3. 难度：中等

设函数f（x）=xe^x，则（ ）
A．x=1为f（x）的极大值点
B．x=1为f（x）的极小值点
C．x=-1为f（x）的极大值点
D．x=-1为f（x）的极小值点

4. 难度：中等

函数y=x³-3x的极大值为m，极小值为n，则m+n为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

5. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+（a²+1）x在x=1处的导数值为1，则该函数的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知f（x）=lnx（x＞0），f（x）的导数是f^′（x），若a=f（7），，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c

7. 难度：中等

已知f（x）=x²+2f′（1），则f'（0）等于（ ）
A．2
B．0
C．-2
D．-4

8. 难度：中等

函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＜2x+4的解集为（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-1）
D．（1，+∞）

9. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）≤bf（a）
B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤f（b）
D．bf（b）≤f（a）

10. 难度：中等

已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集为（ ）

A．（-∞，-2）∪（1，+∞）
B．（-∞，-2）∪（1，2）
C．（-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）
D．（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

曲线y=x³-x+3在点（1，3）处的切线方程为    ．

12. 难度：中等

与直线2x-y-4=0平行且与曲线y=5相切的直线方程是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+2x²-ax+1在区间（-1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x²+2xf′（2），则f′（5）=    ．

15. 难度：中等

若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是    ．

16. 难度：中等

如图为函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x•f′（x）＜0的解集为    ．

17. 难度：中等

若曲线f（x）=ax²+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

设函数f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f'（x）是奇函数．
（Ⅰ）求b，c的值．
（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-ax）e^x（x∈R），a为实数．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若f（x）在闭区间[-1，1]上为减函数，求a的取值范围．

20. 难度：中等

设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 求函数f（x）的极值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值        
（2）求f（x）的解析式
（3）若函数g（x）=（x+1）f（x）-a[f（x+1）-x]在区间（-1，2）上是减函数，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

已知f（x）=ax-1nx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．