2012-2013学年湖南省五市十校高三第一次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={-1，0，1}，N={x|x²=x}，则M∩N=（ ）
A．{-1，0，1}
B．{0，1}
C．{1}
D．{0}

2. 难度：中等

设i为虚数单位，则复数=（ ）
A．-4-3i
B．-4+3i
C．4+3i
D．4-3i

3. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．函数在其定义域上是减函数
B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C．命题“∃x∈R，x²+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x²+x+1＜0”
D．给定命题P、q，若P∧q是真命题，则¬P是假命题

4. 难度：中等

通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

	男	女	总计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
总计	60	50	110

由算得，
附表：

p（k^2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别五关”

5. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8.5

6. 难度：中等

某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x（万元）	4	2	3	5
销售额y（万元）	49	26	39	54

  根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元

7. 难度：中等

如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）

A．
B．
C．8
D．12

8. 难度：中等

一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知，若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b-a的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

10. 难度：中等

【选做】已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是    ．

11. 难度：中等

已知直线l的参数方程为．以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系x0y取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ=asinθ（a＞0）．当直线l与曲线C相切时，则a=    ．

12. 难度：中等

某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图1，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为    ．

13. 难度：中等

阅读图中的程序框图，该程序运行后输出的S的值为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，AB=10，AC=6，O为BC的垂直平分线上一点，则=    ．

15. 难度：中等

当时，4^x＜log_ax，则a的取值范围    ．

16. 难度：中等

传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a_n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b_n}．可以推测：
（Ⅰ）b₃是数列{a_n}中的第    项；
（Ⅱ）b_2k=    （用k表示）

三、解答题

17. 难度：中等

某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

18. 难度：中等

已知向量，函数．
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，且a＞b，求a，b的值．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

20. 难度：中等

某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；
（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

21. 难度：中等

设函数，求证：
（1）；
（2）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（-ax²-2x+a）•e^x，（a∈R）．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[-1，1]上单调递减，求实数a的取值范围．