2012年上海市黄浦区、嘉定区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

2. 难度：中等

椭圆：的焦距是    ．

3. 难度：中等

已知全集U=R，集合，则C_UA=    ．

4. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）存在反函数，若其反函数的图象经过点，则幂函数f（x）=    ．

5. 难度：中等

若函数f（x）=-x²+（2m-1）x+m²-1在区间（-∞，1]上是增函数，则实数m的取值范围是    ．

6. 难度：中等

已知数列{a_n}（n∈N^*）是公差为2的等差数列，则=    ．

7. 难度：中等

已知点A（-1，0）在圆C：（x-1）²+（y+1）²=5上，过点A作圆C的切线l，则切线l的方程是    ．

8. 难度：中等

已知z∈C，且为z的共轭复数，若（i是虚数单位），则z=    ．

9. 难度：中等

已知D是△ABC的边BC上的点，且BD：DC=1：2，，如图所示．若用表示，则=    ．

10. 难度：中等

的二项展开式的常数项是    ．

11. 难度：中等

已知α、β∈（0，），若cos（α+β）=，sin（α-β）=-，则cos2α=    ．

12. 难度：中等

如图，已知圆柱的轴截面ABB₁A₁是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C₁是圆柱上底面弧A₁B₁的中点，那么异面直线AC₁与BC所成角的正切值为    ．

13. 难度：中等

某高级中学举行高二英语演讲比赛，共有9人参加决赛（其中高二（2）班2人，其他班级有7人），比赛的出场顺序按抽签方式产生，则比赛出场顺序是“高二（2）班2人比赛序号不相连”的概率是    ．（结果用最简分数表示）

14. 难度：中等

方程的不同实数根的个数是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知空间三条直线a、b、m及平面α，且a、b⊂α．条件甲：m⊥a，m⊥b；条件乙：m⊥α，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分且必要条件
D．既非充分也非必要条件

16. 难度：中等

若实数x、y满足约束条件则目标函数z=2x-3y的最小值是（ ）
A．6
B．0
C．-72
D．-24

17. 难度：中等

现给出如下命题：
（1）若某音叉发出的声波可用函数y=0.002sin800πt（t∈R⁺）描述，其中t的单位是秒，则该声波的频率是400赫兹；
（2）在△ABC中，若c²=a²+b²+ab，则；
（3）从一个总体中随机抽取一个样本容量为10的样本：11，10，12，10，9，8，9，11，12，8，则该总体标准差的点估计值是．
则其中正确命题的序号是（ ）
A．（1）、（2）
B．（1）、（3）
C．（2）、（3）
D．（1）、（2）、（3）

18. 难度：中等

已知△ABC的三边分别是a、b、c，且a≤b≤c（a、b、c∈N^*），当b=n（n∈N^*）时，记满足条件的所有三角形的个数为a_n，则数列{a_n}的通项公式a_n=（ ）
A．2n-1
B．
C．2n+1
D．n

三、解答题

19. 难度：中等

如图所示的几何体，是由棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截去一个角后所得的几何体．
（1）试画出该几何体的三视图；（主视图投影面平行平面DCC₁D₁，主视方向如图所示．请将三张视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框内）
（2）若截面△MNH是边长为2的正三角形，求该几何体的体积V．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若，求f（x）的取值范围．

21. 难度：中等

某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用表示A型车床在第n年创造的价值．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式a_n；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项的和，．企业经过成本核算，若T_n＞100万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列{b_n}是单调递减数列，则数列也是单调递减数列）．

22. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且对x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x）．又当x∈[0，1]时，f（x）=x．
（1）当x∈[-1，0]时，求f（x）的解析式；
（2）求证：函数y=f（x）（x∈R）是以T=2为周期的周期函数；
（3）解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可（无需写解题步骤）．注意：考生若选择多于一个问题解答，则按分数最低一个问题的解答正确与否给分．
①当x∈[2n-1，2n]（n∈Z）时，求f（x）的解析式．
②当x∈[2n-1，2n+1]（其中n是给定的正整数）时，若函数y=f（x）的图象与函数y=kx的图象有且仅有两个公共点，求实数k的取值范围．
③当x∈[0，2n]（n是给定的正整数且n≥3）时，求f（x）的解析式．

23. 难度：中等

已知定点F（2，0），直线l：x=-2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l₁过点F与曲线C交于A、B两个不同点，求证：=；
（3）记与的夹角为θ（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cosθ的最小值．