2011-2012学年河南省新乡市卫辉一中高三（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=a+bi（a、b∈R），是z的共轭复数，且，则a、b的值分别为（ ）
A．7，1
B．6，-1
C．7，-1
D．6，1

2. 难度：中等

若方程lnx+x-4=0在区间（a，b）（a，b∈Z，且b-a=1）上有一根，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，，则a₁₂的值是（ ）
A．15
B．30
C．31
D．64

4. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，3^x＞0，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，3^x≤0
B．¬p：∀x∈R，3^x≤0
C．¬p：∃x∈R，3^x＜0
D．¬p：∀x∈R，3^x＜0

5. 难度：中等

已知直线m n和平面α，则m∥n的一个必要条件是（ ）
A．m∥α，n∥α
B．m⊥α，n⊥α
C．m∥α，n⊂α
D．m，n与α成等角

6. 难度：中等

二项式展开式中的常数项是（ ）
A．第7项
B．第8项
C．第9项
D．第10项

7. 难度：中等

某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：

考试次数x	1	2	3	4
所减分数y	4.5	4	3	2.5

显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（ ）
A．y=0.7x+5.25
B．y=-0.6x+5.25
C．y=-0.7x+6.25
D．y=-0.7x+5.25

8. 难度：中等

将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图是“二分法”解方程的流程图．在①～④处应填写的内容分别是（ ）

A．f（a）f（m）＜0； a=m； 是；  否
B．f（b）f（m）＜0； b=m； 是；  否
C．f（b）f（m）＜0； m=b； 是；  否
D．f（b）f（m）＜0； b=m； 否；  是

10. 难度：中等

任取，直线y=kx+3与圆（x-2）²+（y-3）²=4相交于M、N两点，则|MN|的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

直线l的方向向量为且过抛物线x²=4y的焦点，则直线l与抛物线围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知P是双曲线上一点，F₁、F₂是左右焦点，△P F₁F₂的三边长成等差数列，且∠F₁ P F₂=120°，则双曲线的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上），在B地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为     米．

14. 难度：中等

已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件点C的轨迹的长度之和为     ．

16. 难度：中等

用一个边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，半径为1的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

对于给定数列{a_n}，如果存在实常数p，q，使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{a_n}是“M类数列”．
（Ⅰ）已知数列{b_n}是“M类数列”且b_n=2n，求它对应的实常数p，q的值；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c₁=1，c_n+1-c_n=2ⁿ（n∈N^*），求数列{c_n}的通项公式．并判断{c_n}是否为“M类数列”，说明理由．

18. 难度：中等

符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：
①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）；
②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；
③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）．
某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．
已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数达到一本分数线的概率是0.6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0.3．
（I）求这名同学参加考试次数ξ的分布列及数学期望；
（II）求这名同学被该大学录取的概率．

19. 难度：中等

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．

20. 难度：中等

设椭圆E：（a＞b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

设函数．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

22. 难度：中等

如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（I）求AC的长；
（II）求证：BE=EF．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）P是圆C上一动点，点Q满足，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程．

24. 难度：中等

自选题：不等式选讲：已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．
（I）求证：2＜x₁+x₂＜6，|x₁-x₂|＜2；
（II）若f（x）=x²-x+1，求证：|x₁-x₂|＜|f（x₁）-f（x₂）|＜5|x₁-x₂|．