2013年河南省新乡、许昌、平顶山高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合，则A∪B=（ ）
A．{x|-1≤x＜2}
B．
C．{x|x＜2}
D．{x|1≤x＜2}

2. 难度：中等

在复平面内复数，对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（ ）
A．1
B．
C．i
D．i

3. 难度：中等

设函数，x∈R，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数

4. 难度：中等

一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，sinx+cosx=
B．∃x∈R，tanx=2013
C．∀x＞0，x＞ln
D．∀x∈R，2^x＞0

6. 难度：中等

已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

7. 难度：中等

如果双曲线（m＞0，n＞0）的渐近线方程渐近线为y=±x，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若α是锐角，且cos（）=-，则sinα的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

某学校对高一新生的体重进行了抽样调查．右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg）的范围是[45，70]，样本数据分组为[45，50），[50，55），[55，60），[60，65），[65，70]，已知被调查的学生中体重不足55kg的有36，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是．（ ）

A．90
B．75
C．60
D．45

10. 难度：中等

设{a_n}是等比数列，则“a₁＜a₂＜a₃”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

11. 难度：中等

已知一组样本点（x_i，y_i）其中i=1，2，3，…，30根据最小二乘法求得的回归方程是=bx+a则下列说法正确的是（ ）
A．若所有样本点都在=bx+a上，则变量间的相关系数为1
B．至少有一个样本点落在回归直线=bx+a上
C．对所有的预报变量  x_i（i=1，2，3，…，30），bx_i+a的值一定与y_i有误差
D．若 =bx+a斜率b＞0则变量x与y正相关

12. 难度：中等

对于0≤a＜1的实数a，当x，y满足时，z=x+y（ ）
A．只有最大值，没有最小值
B．只有最小值，没有最大值
C．既有最小值也有最大值
D．既没有最小值也没有最大值

二、填空题

13. 难度：中等

圆心在直线x+2y-3=0上且与直线x-y-1=0切于点B（2，3）的圆的方程为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²+b²=3c²，则cosC最小值为    ．

15. 难度：中等

甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门，则两人所选课程中恰有一门相同的概率为    ．

16. 难度：中等

若关于x的方程有三个不等实数根，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

根据如图的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x₂₀₁₃；y₁，y₂，…，y₂₀₁₃
（Ⅰ）写出数列{x_n}，{y_n}的通项公式（不要求写出求解过程）
（Ⅱ）求数列{x_n-y_n}的前n项和S_n（n≤2013）

18. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CBA=90°，面 PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD=2，BC=1，点M是棱PD的中点
（Ⅰ）求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．

19. 难度：中等

某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束．甲，乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率
如下表：

出场顺序	1号	2号	3豪	4号	5号
获胜概率		p	q

若甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为
（Ⅰ）求p，q的值
（Ⅱ）甲队以什么样的比分获得决赛胜利的可能性最大？

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P（0，-1），点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：=2，=0
（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经巡原点，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x+（a-2）x在定义域内不是单调函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值
（Ⅱ）对于任意的a∈（2-e，2）及x≥0，求证e^x≥1+（1-）x²．

22. 难度：中等

如图所示四边形ABCD内接于E、O，AC交BD于点E，圆的切线DF交BC的延长线于F，CD平分∠BDF
（Ⅰ）求证：AB•AD=AC•AE
（Ⅱ）若圆的半径为2，弦BD长为2，求切线DF的长．

23. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（，），直线l过点P，且倾斜角为，方程=1所对应的曲线经过伸缩变换后的图形为曲线C．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程．
（Ⅱ）直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|•|PB|的值．

24. 难度：中等

已知实数a＞0且函数f（x）=|x-2a|-|x+a|的值域为P={y|-3a²≤y≤3a²}．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若至少存在一个实数m，使得f（m）-f（1-m）≤n成立，求实数n的取值范围．