2012-2013学年云南师大附中高考适应性月考数学试卷3（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x=3k+1，k∈N}，B={x|x≤7，x∈Q}，则A∩B等于（ ）
A．{1，3，5}
B．{l，4，7}
C．{4，7}
D．{3，5}

2. 难度：中等

在复平面内，复数+i³对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知，若垂直，则=（ ）
A．1
B．3
C．2
D．4

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．1
D．

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的x值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3

6. 难度：中等

下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）
A．y=2^|x|
B．
C．y=2^x+2^-x
D．

7. 难度：中等

给出下列四个命题：其中真命题的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为“若x²=1，则x≠1”
B．命题“∃x∈R，x²+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，x²+x-1＞0”
C．命题“若x=y”，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件

8. 难度：中等

实数对（x，y）满足不等式组，则目标函数z=x+y的最大值与最小值之和为（ ）
A．6
B．7
C．9
D．10

9. 难度：中等

记集合A={（x，y）|x²+y²≤4}和集合B={（x，y）|x+y-2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω₁，Ω₂，若在区域Ω₁内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω₂内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=-11，a₃+a₇=-6，则当S_n取最小值时，n等于（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6

11. 难度：中等

对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的值域是[-1，1]
B．当且仅当时，f（x）＞0
C．当且仅当时，该函数取最大值1
D．该函数是以π为最小正周期的周期函数

12. 难度：中等

已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（ ）
A．e²⁰¹³f（-2013）＜f（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）
B．e²⁰¹³f（-2013）＜f（0），f（2013）＞e²⁰¹³f（0）
C．e²⁰¹³f（-2013）＞f（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）
D．e²⁰¹³f（-2013）＞f（0），f（2013）＞e²⁰¹³f（0）

二、填空题

13. 难度：中等

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是    ．

14. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2，B=且c•sinA=•cosC，则△ABC的面积为    ．

15. 难度：中等

正三棱锥A-BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为    ．

16. 难度：中等

如图，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A、B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“优美椭圆”；类比“优美椭圆”，可推出“优美双曲线”的离心率为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有a₁=2，S_n=2a_n-2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修该课程的55名学生，得到数据如下表：

	喜欢统计课程	不喜欢统计课程	合计
男生	20	5	25
女生	10	20	30
合计	30	25	55

（I）判断是否有99． 5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？
（II）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．
下面的临界值表供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
②	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（考公式：K²=，其中n=a+b+c+d）

19. 难度：中等

如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（I）求证：BC⊥平面APC；
（Ⅱ）若BC=3，AB=1O，求点B到平面DCM的距离．

20. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量与向量f（s）≥ϕ（t）互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值．

22. 难度：中等

如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．
（I）求证：A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

23. 难度：中等

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．
（I）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．