2012-2013学年云南师大附中高考适应性月考数学试卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合，则A∩B等于（ ）
A．{1，2，5}
B．{l，2，4，5}
C．{1，4，5}
D．{1，2，4}

2. 难度：中等

在复平面内，复数+i³对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．1
D．

4. 难度：中等

下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）
A．y=2^|x|
B．
C．y=2^x+2^-x
D．

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的x值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3

6. 难度：中等

已知条件p：x²-3x-4≤0；条件q：x²-6x+9-m²≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．[-4，4]
C．（-∞，-1]∪[1，+∞）
D．（-∞，-4]∪[4，+∞）

7. 难度：中等

如图，直线y=2x与抛物线y=3-x²所围成的阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的值域是[-1，1]
B．当且仅当时，f（x）＞0
C．当且仅当时，该函数取最大值1
D．该函数是以π为最小正周期的周期函数

9. 难度：中等

实数对（x，y）满足不等式组若目标函数z=kx-y在x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（-∞，-1]

10. 难度：中等

已知函数，则满足不等式f（3-x²）＜f（2x）的x的取值范围为（ ）
A．
B．（-3，1）
C．[-3，0）
D．（-3，0）

11. 难度：中等

若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=
对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

12. 难度：中等

已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（ ）
A．e²⁰¹³f（-2013）＜f（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）
B．e²⁰¹³f（-2013）＜f（0），f（2013）＞e²⁰¹³f（0）
C．e²⁰¹³f（-2013）＞f（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）
D．e²⁰¹³f（-2013）＞f（0），f（2013）＞e²⁰¹³f（0）

二、填空题

13. 难度：中等

在区间[-6，6]内任取一个元素x，若抛物线y=x²在x=x处的切线的倾角为α，则的概率为    ．

14. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2，B=且sin2A+sin（A-C）=sinB，则△ABC的面积为    ．

15. 难度：中等

正三棱锥A-BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为    ．

16. 难度：中等

如图，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A、B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“优美椭圆”；类比“优美椭圆”，可推出“优美双曲线”的离心率为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1（n≥2）
（I）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次．在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和
（Ⅰ）如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？
（Ⅱ）求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．

19. 难度：中等

如图甲，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=，AB=AD=．将（图甲）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图乙）．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BDC；
（Ⅱ）求点B到平面ACD的距离．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

21. 难度：中等

设抛物线C的方程为x²=4y，M为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（Ⅰ）当M的坐标为（0，-l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（Ⅱ）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．
（I）求证：A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

23. 难度：中等

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．
（I）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．