2013年辽宁省名校领航高考数学预测试卷（高风中学）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=，则z的共轭复数是（ ）
A．1-i
B．1+i
C．i
D．-i

2. 难度：中等

正项等比数列{a_n}中，若log₂（a₂a₉₈）=4，则a₄₀a₆₀等于（ ）
A．-16
B．10
C．16
D．256

3. 难度：中等

若（1+mx）⁶=a+a₁x+a₂x²+…+a₆x⁶，且a₁+a₂+…+a₆=63，则实数m的值为（ ）
A．1或3
B．-3
C．1
D．1或-3

4. 难度：中等

设，都是非零向量，那么命题“与共线”是命题“|+|=||+||”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

5. 难度：中等

实数x，y满足不等式组，则的取值范围是（ ）
A．[-1，1）
B．（-∞，0）
C．[-1，+∞）
D．[-1，0]

6. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

7. 难度：中等

某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A．f（x）=x²
B．
C．f（x）=x²
D．f（x）=sin

8. 难度：中等

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中a、b∈（0，1），已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设函数f（x）=则函数g（x）=f（x）-log₄x的零点个数为（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

10. 难度：中等

如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．设数列{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将a₁，a₂，a₃，…，a₁₀这种顺序的排列作为某种密码，则这种密码的个数为（ ）
A．18个
B．256个
C．512个
D．1024个

二、填空题

11. 难度：中等

已知sin（π+α）=，sin（5π-α）=    ．

12. 难度：中等

一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是     ．

13. 难度：中等

抛物线y²=12x上到焦点的距离等于9的点的坐标是    ．

14. 难度：中等

已知O是△ABC内任意一点，连接AO、BO、CO并延长交对边于A′、B′、C′，则，运用类比猜想，对于空间中四面体A-BCD有    ．

15. 难度：中等

己知4x-3y-5=0，那么（x-1）²+（y-3）²的最小值为    ．

16. 难度：中等

已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y），x，y∈R}，有下列命题
①若f₁（x）=则f₁（x）∈M；
②若f₂（x）=2x，则f₂（x）∈M；
③若f₃（x）∈M，则y=f₃（x）的图象关于原点对称；
④若f₄（x）∈M则对于任意不等的实数x₁，x₂，总有＜0成立．
其中所有正确命题的序号是    ．

17. 难度：中等

集合A，B各有四个元素，A∩B有一个元素，C⊈A∪B，集合C含有三个元素，且其中至少有一个A的元素，符合上述条件的集合C的个数是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量=（1+cosωx，1），=（1，a+sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）=在R上的最大值为2．
（1）求实数a的值；
（2）把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，求ω的最大值．

19. 难度：中等

如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：
（Ⅰ）求A，C两点间的距离；
（Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点
构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A₁．
（ⅰ）求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；
（ⅱ）求△OA₁B面积的取值范围．

21. 难度：中等

某种食品是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的产品合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）正式生产前先试生产2袋食品，求这2袋食品都为废品的概率；
（Ⅱ）设ξ为加工工序中产品合格的次数，求ξ的分布列和数学期望．

22. 难度：中等

（Ⅰ）已知函数．数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=1，且，记数列{b_n}的前n项和为S_n，且．求数列{b_n}的通项公式；并判断b₄+b₆是否仍为数列{b_n}中的项？若是，请证明；否则，说明理由．
（Ⅱ）设{c_n}为首项是c₁，公差d≠0的等差数列，求证：“数列{c_n}中任意不同两项之和仍为数列{c_n}中的项”的充要条件是“存在整数m≥-1，使c₁=md”．