2010-2011学年四川省成都九中高三（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a∈R，则a=1是复数z=a²-1+（a+1）i是纯虚数的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知集合A={x|y=+}，B={y|x²-2x-3，x∈[0，3）}，则（C_RA）∩B=（ ）
A．[-4，-2]
B．（，3）
C．∅
D．[-3，0）

3. 难度：中等

已知0＜m＜a＜b，若x=，y=，z=则（ ）
A．x＞y＞z
B．x＜y＜z
C．x＜y且y＜z
D．x＞y且z＞y

4. 难度：中等

要得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sin（）的图象上（ ）
A．各点向左平个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的
B．各点向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的
C．各点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所得函数图象上各点向右平移个单位
D．各点的横坐标缩短为原来的，再把所得函数图象上各点向左平移个单位

5. 难度：中等

△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P（sinA-cosB，cosA-sinC），则y=（ ）
A．1
B．-1
C．3
D．-3

6. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+|x|-2，则满足f（2x-1）＜f的实数x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

等差数列{a_n}中，前n项和S_n=，前m项和S_m=（m≠n），则S_m+n（ ）
A．小于4
B．等于4
C．大于4
D．大于2且小于4

8. 难度：中等

某企业计划在“四、七、九三校四区”中赞助3个不同的项目，且在同一个校区赞助的项目不超过2个，则该企业不同的投资方案有（ ）
A．16种
B．36种
C．60种
D．42种

9. 难度：中等

如图，已知椭圆中心在原点，F是焦点，A为顶点，准线l交x轴于点B，点P，Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，则①；②；③；④；⑤，其中比值为椭圆的离心率的有（ ）

A．1个
B．3个
C．4个
D．5个

10. 难度：中等

已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

11. 难度：中等

如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（ ）

A．O-ABC是正三棱锥
B．直线OB∥平面ACD
C．直线AD与OB所成的角是45°
D．二面角D-OB-A为45°

12. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x-y）=成立，且f（a）=1（a为正常数），当0＜x＜2a时，f（x）＞0则（ ）
A．f（3a）=1
B．f（x）是偶函数
C．f（x）在[2a，3a]上单调递增
D．4a为f（x）的周期

二、填空题

13. 难度：中等

已知f（x）=（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+L+（1+x）¹⁰=a+a₁x+a₂x²+L+a₁₀x¹⁰，则a₂=    ．

14. 难度：中等

四面体ABCD中，AB=BC=CD=AC=BD=，二面角A-BC-D的余弦值，则此四面体的外接球体积为    ．

15. 难度：中等

已知实数x、y满足，则的取值范围是    ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：
（1）已知函数f（x）=在定义域内是连续函数，数列{a_n}通项公式为a_n=，则数列{a_n}的所有项之和为1．
（2）过点P（3，3）与曲线（x-2）²-=1有唯一公共点的直线有且只有两条．
（3）向量，，若函数f（x）=在区间[-1，1]上是增函数，则实数t的取值范围是（5，+∞）；
（4）我们定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{2，4，6，8，10}的“孙集”有26个．
其中正确的命题有    （填序号）

三、解答题

17. 难度：中等

锐角三角形ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量，且
（1）求角B的大小；
（2）若b=1，求a+c的取值范围．

18. 难度：中等

某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．
（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；
（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？

19. 难度：中等

如图，△VAC中，VC⊥AC，将其绕直线VC旋转得到△VBC，D是AB的中点，AB=，AC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）
（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．
（Ⅲ）θ=时，在线段VB上能否找到点E使二面角E-CD-B的大小也为，若能，求．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（），数列{a_n}的前n项和为S_n对一切正整数n，点（n，S_n）都在f（x）的反函数图象上，又bn=a_n-log₂a_n，{b_n}前n项和为B_n，C_n=，{c_n}前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）求数列{b_n}的前n项和B_n；
（3）比较B_n与T_n的大小．

21. 难度：中等

如图，已知直线l与抛物线相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）．
（1）若动点M满足，求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点B的直线l'（斜率不等于零）与（1）中的轨迹C交于不同
的两点E、F（E在B、F之间），且，试求λ的取值范围．

22. 难度：中等

对于函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1） （a＞0）
（Ⅰ）试求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，数列{a_n}满足a₁=f′（0），n≥2时，an=，求证：（；
（Ⅲ）设b_n=，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀．