2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底（零诊）数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x||x|＞1，x∈R}，B={y|y=x²，x∈R}，则（C_RA）∩B=（ ）
A．{x|-1≤x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1}
D．∅

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．-i
B．i
C．-i
D．i

3. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线与圆x²+y²-6x-7=0相切，则p的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

4. 难度：中等

按如图程序图来计算：

如果x=5，应该运算

1

1

次才停止？
A．3
B．4
C．5
D．6

5. 难度：中等

函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，2]
B．（-∞，2）
C．[0，+∞）
D．（2，+∞）

6. 难度：中等

已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x-1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为（ ）
A．x+y+1=0
B．x+y-1=0
C．x+y-2=0
D．x+y-3=0

7. 难度：中等

函数y=sin（φ）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则=（ ）

A．2
B．2
C．4
D．4

8. 难度：中等

如图，正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（ ）

A．AC⊥BE
B．三棱锥A-BEF体积是定值
C．二面角A-EF-B的平面角大小是定值
D．AE与平面DD₁B₁B所成角等于AF与平面DD₁B₁B所成角

9. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，已知b=5c，cosA=，则sinB=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=，=31，则a₃=（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知O是△ABC外接圆的圆心，若3+5+7=0，则∠ACB=（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知F₁、F₂是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线上的点P满足∠F₁PF₂=60°，且|OP|=a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的图形的面积为    ﹒

14. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，且2x+8y-xy=0，则x+y的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知圆C的方程x²+y²+mx-2y+=0，如果经过点A（-1，2）可作出圆C的两条切线，那么实数m的范围是    ．

16. 难度：中等

设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为：m），若该几何体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于    m²（答案用含有π的式子表示）

三、解答题

17. 难度：中等

已知将函数y=cos²-sin²+2sincos的图象上所有点向左平移个单位，再把所得的图象上所有点得横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数f（x）的图象．
（I）求函数f（x）的表达式及f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）的单调递减区间及f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为[80，90）、[90，100）、[100，110）、[110，120）、[120，130），由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：

（Ⅰ）完成下面2×2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；

	成绩小于100分	成绩不小于100分	合计
甲班	a=______	b=______	50
乙班	c=24	d=26	50
合计	e=______	f=______	100

（Ⅱ）现从乙班50人中任意抽取3人，记ξ表示抽到测试成绩在[100，120）的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
附：K²=，其中n=a+b+c+d

P（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.204	6.635	7.879	10.828

19. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA1=，E、F分别是A₁C₁、BC的中点，若平面ABE⊥平面BB₁C₁C
（I）求证AB⊥BC
（II）FC₁∥平面ABE
（III）求平面ABE与平面EFC₁所成锐二面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆C经过点M（1，），两个焦点是F₁（-1，0）和F₂（1，0）
（I）求椭圆C的方程；
（II）若A、B为椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP 与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，求证：以BD为直径的圆与直线的圆与直线PF₂相切．

21. 难度：中等

已知x=1是函数f（x）=（x²+ax+b）ex（a≠-4）的一个极值点（e是自然对数底数）．
（I）当a＞-4时，求函数f（x）的单调区间（用a表示）；
（II）若函数f（x）在x∈[0，1]上没有零点，求a的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PA与⊙O相切于点A，PBC为⊙O的割线，弦CD∥AP，AD与BC相交于点E，F为CE上一点，且DE²=EF•EC
（I）求证：A、P、D、F四点共圆
（II）若AE=6，DE=EB=4，求PA的长．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t是参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-），直线l与曲线C相交于A、B两点．
（I）求曲线C的直角坐标方程，并指出它是什么曲线；
（II）若|AB|≥，求α的取值范围．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x+2|-|x-1|．
（Ⅰ）试求f（x）的值域；
（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（-∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．