2012-2013学年湖南省五市十校高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合C_U（A∩B）=（ ）
A．{3}
B．{4，5}
C．{3，4，5}
D．{1，2，4，5}

2. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，a₁+a₃+a₅=18，a₂+a₄+a₆=24，则a₂₀等于（ ）
A．10
B．20
C．40
D．80

3. 难度：中等

平面向量与之间的夹角为，=（2，0），||=1，则||=（ ）
A．
B．
C．4
D．12

4. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
A．∃a，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ
B．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数
C．∃m∈R，使f（x）=（m-1）•x ^m2-4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上递减
D．∀a＞0函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点．

5. 难度：中等

已知函数，满足f（a）=3，则f（a-5）的值为 （ ）
A．log₂3
B．
C．
D．1

6. 难度：中等

在斜三角形ABC中，，且，则∠A的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f=f（x）+f（y），若数列{a_n}的前n项和为s_n，且满足，则a_n为   （ ）
A．2^n-1
B．n
C．2n-1
D．

8. 难度：中等

函数f（x）和g（x）的定义域为[a，b]，若对任意的x∈[a，b]，总有，则称f（x）可被g（x）“置换”．下列函数中，能置换函数，x∈[4，16]的是（ ）
A．
B．g（x）=x²+6，x∈[4，16]
C．g（x）=x+6，x∈[4，16]
D．g（x）=2x+6，x∈[4，16]

二、填空题

9. 难度：中等

设复数z满足z•i=2-i，i为虚数单位，则z=    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

11. 难度：中等

等于    ．

12. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出结果是    ．

13. 难度：中等

已知且，则lg（sinα+2cosα）-lg（3sinα+cosα）=    ．

14. 难度：中等

设向量，，定义一种向量积，已知，，点P（x，y）在y=sinx的图象上运动．Q是函数y=f（x）图象上的点，且满足（其中O为坐标原点），函数y=f（x）的值域是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b，c，d为常数），当k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0只有一个实根；当k∈（0，4）时，f（x）-k=0只有3个相异实根，现给出下列4个命题：
①f（x）=4和f′（x）=0有一个相同的实根；
②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根；
③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）-1=0的任一实根；
④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）-2=0的任一实根．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，，函数
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，，且a＞b，求a，b的值．

17. 难度：中等

已知函数（x∈R），
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对任意x∈R恒成立；命题q：函数y=（m²-1）^x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数h（x）=lnx-2x+f（x），若函数h（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

某商场根据调查，估计家电商品从年初（1月）开始的x个月内累计的需求量p（x）（百件）为
（1）求第x个月的需求量f（x）的表达式．
（2）若第x个月的消售量满足（单位：百件），每件利润元，求该商场销售该商品，求第几个月的月利润达到最大值？最大是多少？（e⁶取值为403）

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程的两根，且a₁=1
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设函数，若f（n）＞0对任意的n∈N^*都成立，求t的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数
（1）判断f（x）的单调性；
（2）记φ（x）=f′（x-1）-k（x-1），若函数φ（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：．