2012-2013学年云南师大附中高考适应性月考数学试卷4（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U为实数集R，M={x||x|＞2}，N={x|x²-4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A．{x|-2≤x＜1}
B．{x|-2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|x＜2}

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．-1
B．1
C．i
D．-i

3. 难度：中等

命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ）
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方是正数
D．至少有一个实数的平方不是正数

4. 难度：中等

已知a+b=t（a＞0，b＞0），t为常数，且ab的最大值为2，则t=（ ）
A．2
B．4
C．
D．

5. 难度：中等

甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s₁，s₂分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ）
A．2
B．5
C．7
D．10

7. 难度：中等

若函数f（x）在R上满足f（x）=e^x+x²-x+sinx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（ ）
A．y=2x-1
B．y=3x-2
C．y=x+1
D．y=-2x+3

8. 难度：中等

如果实数x，y满足不等式组，则x²+y²的最小值是（ ）
A．25
B．5
C．4
D．1

9. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞8
B．i＞9
C．i＞10
D．i＞11

10. 难度：中等

已知一几何体的三视图如图，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是（ ）
①矩形；
②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
③每个面都是直角三角形的四面体．

A．①②
B．①②③
C．①③
D．②③

11. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x）且在[0，2]上为增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄的值为（ ）
A．8
B．-8
C．0
D．-4

12. 难度：中等

设F是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l₁，l₂，过F作直线l₁的垂线，分别交l₁，l₂于A、B两点，且向量与同向．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．2

二、填空题

13. 难度：中等

如果随机变量ξ～N（-1，σ²），且P（-3≤ξ≤-1）=0.4，则P（ξ≥1）=    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是    ．

15. 难度：中等

我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（-3，4），且其法向量为的直线方程为1x（x+3）+（-2）×（y-4）=0，化简得x-2y+11=0．类比上述方法，在空间坐标系O-xyz中，经过点A（1，2，3），且其法向量为的平面方程为     ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}中a₁=1，a₂=2，当整数n＞1时，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，则S₁₅=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2x-cos²x-，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

18. 难度：中等

班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图所示条形图表示．
（1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；
（2）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．

19. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中点．
（1）求证：平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）若，求二面角E-BC₁-C的大小．

20. 难度：中等

已知函数在x=1处取得极值，且a＞3
（1）求a与b满足的关系式；
（2）求函数f（x）的单调区间．

21. 难度：中等

已知椭圆的焦距为4，设右焦点为F₁，离心率为e．
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，AF₁的中点为M，BF₁的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．
①证明点A在定圆上；
②设直线AB的斜率为k，若，求e的取值范围．

22. 难度：中等

如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．
（1）求证：△APM∽△ABP；
（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．

23. 难度：中等

在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．