2012-2013学年江苏省扬州市宝应中学高三数学自主训练试卷（21）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若是纯虚数，则θ的值为    ．

2. 难度：中等

在满足所表示的平面区域内任取一个点，则该点落在曲线t=2x+y的取值范围    ．

3. 难度：中等

已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（-2）=3，则f（2）=    ．

4. 难度：中等

如果f（tanx）=sin²x-5sinx•cosx，那么f（5）=    ．

5. 难度：中等

函数y=（acosx+bsinx）cosx有最大值2，最小值-1，则实数（ab）²的值为    ．

6. 难度：中等

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列的前n项和的公式是     ．

7. 难度：中等

若均为单位向量，且，，则的最小值为    ．

8. 难度：中等

已知平面向量满足，且与  的夹角为120°，则（t∈R）的最小值是    ．

9. 难度：中等

设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程2f²（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是    ．

10. 难度：中等

（理）已知函数若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知函数（其中e为自然对数的底数，且e≈2.718）若f（6-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M，N，交曲线于点P，则△OMN（O为坐标原点）的面积的最小值为    ．

13. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0），过定点T（p，0）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，若l₁与抛物线交与P、Q，若l₂与抛物线交与M、N，l₁的斜率为k．某同学正确地已求出了弦PQ的中点为，请写出弦MN的中点    ．

14. 难度：中等

已知动点P（x，y）满足|x-1|+|y-a|=1，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知向量，，若．
（1） 求函数f（x）的最小正周期；
（2） 已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（C为锐角），2sinA=sinB，求C、a、b的值．

16. 难度：中等

如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC=EF=1，AB=AD=DE=DG=2．
（1）求证：平面BEF⊥平面DEFG；
（2）求证：BD∥平面ACGD；
（3）求三棱锥A-BCF的体积．

17. 难度：中等

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=+2a+，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=，x∈R，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

18. 难度：中等

如图，曲线C₁是以原点O为中心、F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以O为顶点、F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点，曲线C₁的离心率为，若，．
（Ⅰ）求曲线C₁和C₂所在的椭圆和抛物线方程；
（Ⅱ）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C₁、C₂依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数，求函数f（n）的最小值；
（3）设表示数列{b_n}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式都成立．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2^i-1个正整数，设a_ij（i，j∈N^*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右第j个数．
（1）求a₆₉的值；
（2）用i，j表示a_ij；
（3）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），求证：当n≥4时，．

23. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，向量．求向量，使得．

24. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系x0y的O点为极点，0x为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的倾斜角；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB．