《立体几何》2013年高三数学一轮专项练习（徐州七中）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为    ．
①⇒n⊥α   ②⇒m∥n   ③⇒m⊥n  ④⇒n⊥α

2. 难度：中等

平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是直线m₁和直线n₁，给出下列四个命题：
①m₁⊥n_1⇒m⊥n；   ②m⊥n⇒m₁⊥n₁；③m₁与n₁相交⇒m与n相交或重合； ④m₁与n₁平行⇒m与n平行或重合；
其中不正确的命题个数是    ．

3. 难度：中等

已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．
其中正确命题的序号是    ．

4. 难度：中等

在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有     个．

5. 难度：中等

一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为     ．

6. 难度：中等

若棱锥底面面积为150cm²，平行于底面的截面面积是54cm²，底面和这个截面的距离是12cm，则棱锥的高为    ．

7. 难度：中等

侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积等于    ．

8. 难度：中等

一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为    ．

9. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，E为CD上的动点，四边形ABCD满足    时，体积V_P-AEB恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．

10. 难度：中等

正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为    ．

11. 难度：中等

三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP的长为    ．

12. 难度：中等

正四棱柱的底面边长为a，高为b（a＜b），一蚂蚁从顶点A出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点C₁，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为    ．

13. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA₁=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于     ．

14. 难度：中等

已知正方体ABCD-A'B'C'D'，则该正方体的体积、四棱锥C'-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求证：AE∥平面BFD．

16. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，E为棱CC₁上的动点．
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC₁的中点时，求证：平面A₁BD⊥平面EBD．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，EF⊥PB．
（I）求证：PA∥平面BDE；
（II）求证：PB⊥平面DEF．

18. 难度：中等

如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；
（2）求证：AE⊥BE．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（1）求证：DM∥平面PCB；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）求三棱锥P-MBD的体积．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．