2013年四川省成都市石室中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合P={1，2}，Q={x||x|＜2}，则集合P∩Q为（ ）
A．{1，2}
B．{1}
C．{2}
D．{0，1}

2. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．0
B．5i
C．1
D．i

3. 难度：中等

已知，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（ ）

A．8
B．18
C．26
D．80

5. 难度：中等

设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若a⊥b，a⊥α，则b∥α
B．若a∥α，α⊥β，则a⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

6. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

对一切实数x，不等式x²+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-2，+∞）
B．（-∞，-2）
C．[-2，2]
D．[0，+∞）

8. 难度：中等

O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（ ）
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形

9. 难度：中等

反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录有三个不同点数时即停止抛掷，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是（ ）
A．360种
B．840种
C．600种
D．1680种

10. 难度：中等

已知关于x的方程-2x²+bx+c=0，若b、c∈{0，1，2，3，4}，记“该方程有实数根x₁、x₂且满足-1≤x₁≤x₂≤2”为事件A，则事件A发生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和，则a_n=    ．

12. 难度：中等

（1+2x）ⁿ的展开式中x³的系数等于x²的系数的4倍，则n等于    ．

13. 难度：中等

如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为    ．

14. 难度：中等

设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于    ．

15. 难度：中等

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1），恒成立．有下列结论：①f（0）=0；②函数f（x）为（-1，1）上的奇函数；③函数f（x）是定义域内的增函数；④若，且a_n∈（-1，0）∪（0，1），则数列{f（a_n）}为等比数列．
其中你认为正确的所有结论的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的面积S满足，的夹角为θ．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最大值．

17. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）若，且异面直线PC与AD的夹角为60°时，求二面角P-CD-A的余弦值．

18. 难度：中等

设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos²x+2sinx-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程有解，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）

20. 难度：中等

设数列{a_n}为单调递增的等差数列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若，求证：．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；
（Ⅲ）试证明：•••…•（1+n（n+1））＞e^2n-3．