2013年吉林省长春市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-x-2≤0}，B={x|y=ln（1-x）}，则A∩B=（ ）
A．（0，2]
B．（-∞，-1）∪（2，+∞）
C．[-1，1）
D．（-1，0）∪（0，2）

2. 难度：中等

已知复数z=1+ai（a∈R）（i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则a=（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

3. 难度：中等

下面程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A．c＞
B．x＞c
C．c＞b
D．b＞c

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

直线l₁与l₂相交于点A，点B、C分别在直线l₁与l₂上，若与的夹角为60°，且，，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若x∈（1，4），设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞b
B．b＞a＞c
C．a＞b＞c
D．b＞c＞a

7. 难度：中等

在正项等比数列{a_n}中，已知a₁a₂a₃=4，a₄a₅a₆=12，a_n-1a_na_n+1=324，则n=（ ）
A．11
B．12
C．14
D．16

8. 难度：中等

已知直线x+y-k=0（k＞0）与圆x²+y²=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．4

9. 难度：中等

关于函数与函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）和g（x）的图象有一个交点在y轴上
B．函数f（x）和g（x）的图象在区间（0，π）内有3个交点
C．函数f（x）和g（x）的图象关于直线对称
D．函数f（x）和g（x）的图象关于原点（0，0）对称

10. 难度：中等

已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2]∪[4，+∞）
B．（-∞，-4]∪[2，+∞）
C．（-2，4）
D．（-4，2）

11. 难度：中等

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2AD，，则以A、B为焦点，且过点D的双曲线的离心率e=（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），
已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（ ）
A．0对
B．1对
C．2对
D．3对

二、填空题

13. 难度：中等

若实数x，y满足，则z=x+2y的最大值是    ．

14. 难度：中等

△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若（2a+c）•cosB+b•cosC=0，则B的值为    ．

15. 难度：中等

若一个正四面体的表面积为S₁，其内切球的表面积为S₂，则=    ．

16. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）-f（x-5）=0，当x∈（-1，4]时，f（x）=x²-2^x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）（x∈R）的部分图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[-π，-]时，求f（x）的取值范围．

18. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和T_n．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O为AC中点．
（1）证明：A₁O⊥平面ABC；
（2）若E是线段A₁B上一点，且满足，求A₁E的长度．

20. 难度：中等

椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，-1）的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（|sinx|）的最小值．

22. 难度：中等

如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．
（1）求证：AG•EF=CE•GD；
（2）求证：．

23. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．

24. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）当a=-5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．