2012-2013学年山东省烟台市莱州一中高三第二次质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|0＜2^x＜1}，B={x|log₃x＞0}，则A∩（∁_UB）=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＜0}

2. 难度：中等

已知等于（ ）
A．
B．
C．-
D．

3. 难度：中等

曲线y=1n（x+2）在点P（-1，0）处的切线方程是（ ）
A．y=x+1
B．y=-x+1
C．y=2x+1
D．y=-2x+1

4. 难度：中等

设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若b⊂α，c∥α，则b∥c
B．若b⊂α，b∥c，则c∥α
C．若c∥α，α⊥β，则c⊥β
D．若c∥α，c⊥β，则α⊥β

5. 难度：中等

函数y=的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1-2^-x，则不等式f（x）＜-的解集是（ ）
A．（-∞，-1）
B．（-∞，-1]
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）

7. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=a，a_n=a_n+1+2．定义数列{b_n}，使得，n∈N^*．若4＜a＜6，则数列{b_n}的最大项为（ ）
A．b₂
B．b₃
C．b₄
D．b₅

8. 难度：中等

由直线所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．1
C．
D．

9. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（ ）
A．[1，]
B．[，1]
C．[1，2]
D．[，2]

10. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

11. 难度：中等

函数f（x）=x³+bx²+cx+d的大致图象如图所示，则x₁²+x₂²等于（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知各项均不为零的数列{a_n}，定义向量，，n∈N^*．下列命题中真命题是（ ）
A．若∀n∈N^*总有∥成立，则数列{a_n}是等差数列
B．若∀n∈N^*总有∥成立，则数列{a_n}是等比数列
C．若∀n∈N^*总有⊥成立，则数列{a_n}是等差数列
D．若∀n∈N^*总有⊥成立，则数列{a_n}是等比数列

二、填空题

13. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为    ．

15. 难度：中等

2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为    米．

16. 难度：中等

已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，S₃，记，，．则λ₂•λ₃取最大值时，2x+y的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知全集U=R，非空集合＜0}，B={x|（x-a）（x-a²-2）＜0}．
（1）当时，求（∁_UB）∩A；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，=（sinA，sin B），=（cosB，cos A），•=-sin 2C．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，A=，求△ABC的面积S．

19. 难度：中等

已知{a_n}是公差为2的等差数列，且a₃+1是a_l+1与a₇+1的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=，求数列{b}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

21. 难度：中等

如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：
（Ⅰ）求A，C两点间的距离；
（Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

22. 难度：中等

已知函数为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（3）求证：对于任意的成立．