2012-2013学年江苏省宿迁市泗阳中学、盱眙中学高三联考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，4，5}，集合B={1，4}，则A∩C_IB=    ．

2. 难度：中等

某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为45的样本，那么高三年级应抽取的人数为    ．

3. 难度：中等

若复数（a+i）（1-2i）（ i是虚数单位）是纯虚数，则实数a=    ．

4. 难度：中等

以如图所示伪代码：根据以上伪代码，则f（-e）+f（e）=    ．

5. 难度：中等

函数的定义域是    ．

6. 难度：中等

若随机向一个边长为2的正方形内丢一粒豆子，则豆子落在此正方形内切圆内的概率为    ．

7. 难度：中等

设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α∥β，l⊂α，则l∥β；  ②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；  
③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；  ④若m、n是异面直线，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α．
其中真命题的序号是    ．

8. 难度：中等

两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，则双曲线的离心率为    ．

9. 难度：中等

已知函数y=sinωx在上是减函数，则实数ω的取值范围是    ．

10. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，＜-1，若它的前n项和S_n有最大值，则使S_n取得最小正数的n=    ．

11. 难度：中等

在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是    ．

12. 难度：中等

直线与圆x²+y²=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值为     ．

13. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=4，AC=8，∠BAC=60°，延长CB到D，使BA=BD，当E点在线段AB上移动时，若，当λ取最大值时，λ-μ的值是    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，则点集Q={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．
（1）若ac=2，求a+c的值；
（2）求的值．

16. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=1，AB₁=
（1）求证：平面AB₁C⊥平面B₁CB；    （2）求三棱锥A₁-AB₁C的体积．

17. 难度：中等

某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入-生产成本-促销费用）
（1）求出x与t所满足的关系式；
（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；
（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？

18. 难度：中等

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且=．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+y+3=0相切，求椭圆C的方程．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项a₁=2a+1（a是常数，且a≠-1），a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n≥2），数列{b_n}的首项b₁=a，b_n=a_n+n²（n≥2）．
（1）证明：{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设S_n为数列{b_n}的前n项和，且{S_n}是等比数列，求实数a的值；
（3）当a＞0时，求数列{a_n}的最小项．

20. 难度：中等

已知函数（a∈R）．
（Ⅰ） 当a≥0时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4．当时，
（i）若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b取值范围．
（ii） 对于任意x₁，x₂∈（1，2]都有，求λ的取值范围．