2012-2013学年安徽省四校高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合M={x||x-1|≤1}，N={x|lgx＞0}，则M∩N=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|1＜x≤2}

2. 难度：中等

若向量满足且，则等于（ ）
A．4
B．3
C．2
D．0

3. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，使；命题q：∀x∈R，都有x²+x+1＞0．给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧￢q”是假命题；
③命题“￢p∨q”是真命题；
④命题“￢p∨￢q”是假命题．
其中正确的是（ ）
A．②③
B．②④
C．③④
D．①②③

4. 难度：中等

以双曲线的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程为（ ）
A．x²+y²-4x+5=0
B．x²+y²-4x+3=0
C．
D．

5. 难度：中等

设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．a＜b＜c

6. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n． 若a₁=1，S₆=4S₃，则a₄=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的复数z是（ ）

A．
B．
C．1
D．-1

8. 难度：中等

函数y=2^x-sinx的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知实数x，y满足|2x+y+1|≤|x+2y+2|，且|y|≤1，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

10. 难度：中等

已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的判断正确的是（ ）
A．当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点
B．当a＞0时，有3个零点；当a＜0时，有2个零点
C．无论a为何值，均有2个零点
D．无论a为何值，均有4个零点

二、填空题

11. 难度：中等

若的展开式中的第5项为常数，则n=    ．

12. 难度：中等

某班有50名学生，一次考试的成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，10²）．已知P（90≤ξ≤100）=0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为    ．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图及其有关数据如图所示，则这个几何体的体积是    ．

14. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA₁，则异面直线BA₁与AC₁所成角的大小为    ．

15. 难度：中等

设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x的定义域是．给出下列几个命题：
①f（x）在处取得小值；
②是f（x）的一个单调递减区间；
③f（x）的最大值为2；
④使得f（x）取得最大值的点仅有一个．
其中正确命题的序号是    ．（将你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题

16. 难度：中等

函数的部分图象如图所示．
（I）求ω，ϕ的值；
（II）在△ABC中，，求sinB的值．

17. 难度：中等

甲、乙两只鸽子随机地飞入并排放置的6个小笼中的两个笼子（如图，其中数字代表笼子的序号）．
（I）求甲、乙所在笼子的序号至少有一个为奇数的概率；
（II）记X=“甲、乙之间的笼子个数”，求X的分布列与期望．

18. 难度：中等

如图所示的多面体中，，PA⊥面ABC，PA=1，M、D分别是所在线段的中点，PADN为矩形．
（I）求证：MN∥面PAC；
（II）求平面MNC与平面PAC所成锐二面角大小θ．

19. 难度：中等

数列{a_n}中，，；数列{b_n}满足．
（I）求证：数列{b_n}是等差数列，并求出{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求{a_n}中最大项与最小项．

20. 难度：中等

过抛物线y=x²上异于原点的任意两点A、B所作的两条切线交于点P，且交x轴于M、N（如图），F为抛物线的焦点．
（Ⅰ） 求点P的坐标（用A、B的横坐标x₁和x₂表示）；
（Ⅱ）求证：|FP|²=|FA|•|FB|；
（Ⅲ）设S_△OAB=λS_△PMN，试求λ的值．

21. 难度：中等

已知函数．
（I）当-1＜a＜0时，求f（x）的单调区间；
（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x）只有一个零点x，且a+1＜x＜a+2；
（III）当时，记函数f（x）的零点为x，若对任意x₁，x₂∈[0，x]且x₂-x₁=1，都有|f（x₂）-f（x₁）|≥m成立，求实数m的最大值．
（本题可参考数据：ln2=0.7，，）