2013年甘肃省定西市文峰中学高三新课标数学模拟试卷（一）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=sinx+sin（-x）具有性质（ ）
A．图象关于点（-，0）对称，最大值为1
B．图象关于点（-，0）对称，最大值为2
C．图象关于点（-，0）对称，最大值为2
D．图象关于直线x=-对称，最大值为1

2. 难度：中等

三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是（ ）
A．20
B．25
C．50π
D．200π

3. 难度：中等

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若T为线段FP的中点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．x±y=0
B．2x±y=0
C．4x±y=0
D．x±2y=0

4. 难度：中等

以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x²+y²-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（ ）
A．y=3x²或y=-3x²
B．y=3x²
C．y²=-9x或y=3x²
D．y=-3x²或y²=9

5. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4-x），且其导函数f′（x）满足（x-2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（ ）
A．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
B．f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，1]
B．（0，1）
C．[0，+∞）
D．（-∞，1）

二、填空题

7. 难度：中等

已知，则=    ．

8. 难度：中等

若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图与俯视图均为等腰三角形，则此多面体的表面积为    cm²．

9. 难度：中等

一根绳子长为6米，绳上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为    ．

10. 难度：中等

在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于    ．

三、解答题

11. 难度：中等

设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量=，=，已知与共线．   
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，，且△ABC的面积小于，求角B的取值范围．

12. 难度：中等

某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．
（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？

13. 难度：中等

在正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足，将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B，A₁P．
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

14. 难度：中等

（文科）在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SE⊥AD．
（Ⅰ）证明：平面SBE⊥平面SEC；
（Ⅱ）若SE=1，求三棱锥E-SBC的高．

15. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线y=2x上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n，求数列的前n项和T_n．

16. 难度：中等

已知：函数
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

17. 难度：中等

已知抛物线 x²=4y的焦点是椭圆 C：一个顶点，椭圆C的离心率为．另有一圆O圆心在坐标原点，半径为
（I）求椭圆C和圆O的方程；
（Ⅱ）已知过点P（0，）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，求直线l被圆O截得的弦长；
（Ⅲ）已知M（x，y）是圆O上任意一点，过M点作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

18. 难度：中等

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

四、选择题

19. 难度：中等

集合A={0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（ ）
A．{0}
B．{1}
C．{0，1}
D．{0，1，2}

20. 难度：中等

已知i为虚数单位，复数z=，则复数z在复平面上的对应点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

21. 难度：中等

命题“∀x∈R，e^x＞0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，e^x≤0
B．∃x∈R，e^x≤0
C．∃x∈R，e^x＞0
D．∀x∈R，e^x＜0

22. 难度：中等

设数列{a_n}是等差数列，若a₃+a₄+a₅=12，则a₁+a₂+…+a₇=（ ）
A．14
B．21
C．28
D．35

23. 难度：中等

在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若=x+（1-x） ，则实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，+∞）
C．（-1，0）
D．（0，1）