2012年黑龙江省哈尔滨三中等四校高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，，则等于（ ）
A．8
B．-8
C．8i
D．-8i

2. 难度：中等

若偶函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．f（-）＜f（-1）＜f（-2）
B．f（-1）＜f（-）＜f（2）
C．f（2）＜f（-1）＜f（-）
D．f（2）＜f（-）＜f（-1）

3. 难度：中等

已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（），且2α∈[0，2π），则tanα等于（ ）
A．-
B．
C．-
D．

4. 难度：中等

已知P为边长为2的正方形ABCD及其内部一动点，若△PAB，△PBC面积均不大于1，则取值范围是（ ）
A．
B．（-1，2）
C．
D．[-1，1]

5. 难度：中等

已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为1的正方形，则这个几何体的体积不可能是（ ）
A．
B．
C．1
D．

6. 难度：中等

同时抛掷三颗骰子一次，设A=“三个点数都不相同”，B=“至少有一个6点”则P（B|A）为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

程序框图表示求式子2³×5³×11³×23³×47³×95³的值，则判断框内可以填的条件为（ ）

A．i≤90？
B．i≤100？
C．i≤200？
D．i≤300？

8. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数
B．函数在区间上是单调递增的
C．函数的最小值是-1
D．函数y=sinπx•cosπx是最小正周期为2的奇函数

9. 难度：中等

已知点F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF₂是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知抛物线C：y=ax²（a＞0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称，并且，那么m=（ ）
A．
B．
C．2
D．3

12. 难度：中等

已知函数，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（ ）
A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点
B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点
C．无论k为何值，均有2个零点
D．无论k为何值，均有4个零点

二、填空题

13. 难度：中等

求展开式的x²项的系数是    ．

14. 难度：中等

已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，，若四面体P-ABC的体积为，则该球的体积为    ．

15. 难度：中等

已知x，y满足条件，则z=x+3y的最大值是    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，当tan（A-B）取最大值时，角C的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，且．
（1）令，确定b_n与b_n-1（n≥2）的关系；
（2）求{a_n}的通项．

18. 难度：中等

口袋里装有7个大小相同的小球，其中三个标有数字1，两个标有数字2，一个标有数字3，一个标有数字4．
（Ⅰ） 第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为ξ．当ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由；
（Ⅱ） 第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为η．求η的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）当，且直线AE与平面PBD成角为45°时，确定点E的位置，即求出的值．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知，若实数λ使得（O为坐标原点）．
（Ⅰ） 求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型；
（Ⅱ） 当时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中P点的轨迹交于不同的两点E，F（E在B，F之间），且[．若存在，求出该直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数g（x）=x²-（2a+1）x+alnx
（Ⅰ） 当a=1时，求函数g（x）的极值；
（Ⅱ） 求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值；
（ III） 在（Ⅰ）的条件下，设f（x）=g（x）+4x-x²-2lnx，证明：．
参考数据：ln2≈0.6931．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过点A的直线，且∠PAC=∠ABC．
（Ⅰ） 求证：PA是⊙O的切线；
（Ⅱ）如果弦CD交AB于点E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求sin∠BCE．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，过点作倾斜角为α的直线l与曲线C：x²+y²=1相交于不同的两点M，N．
（Ⅰ） 写出直线l的参数方程；
（Ⅱ） 求 的取值范围．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设不等式|2x-1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M．
（Ⅰ） 试比较ab+1与a+b的大小；
（Ⅱ） 设maxA表示数集A中的最大数，且，求h的范围．