2012年黑龙江省哈尔滨三中等四校高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，则复平面内表示z的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

集合，集合，则P∩Q=（ ）
A．P
B．Q
C．{-1，1}
D．∅

3. 难度：中等

对于实数a、b，“b＜a＜0”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．3
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₂+a₁₈=4π，则cos（a₂+a₁₂）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）

A．k＞4？
B．k＞5？
C．k＞6？
D．k＞7？

7. 难度：中等

已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比q=2，前n项和为S_n，则=（ ）
A．2
B．4
C．
D．

9. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x-m在[0，2]上有零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．[-2，2]
B．[0，2]
C．[-2，0]
D．以上都不对

10. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）中的一个点
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，R²为0.98的模型比R²为0.80的模型拟合的效果好

11. 难度：中等

已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．设，，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b

12. 难度：中等

已知点P的双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若S_△IPF1=S_△IPF2+λS_△IF1F₂成立，则λ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

点P（1，3）关于直线y=x的对称点是    ．

14. 难度：中等

棱长为2的立方体的八个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是    ．

15. 难度：中等

5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为    ．

16. 难度：中等

已知△ABC，∠C=60°，AC=2，BC=1，点M是△ABC内部或边界上一动点，N是边BC的中点，则的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

为了学生的全面发展，某中学在高一学年试推行“合理作业”（合理作业是指：放学后学生每天完成作业的时间不超过两小时）活动．高一学年共有学生2000人，其中男生1200人，女生800人，为了调查2012年3月（按30天计算）学生“合理作业”的天数情况，通过分层抽样的方法抽取了40人作为样本，统计他们在该月30天内“合理作业”的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，（5，10]，（10，15]，…，（25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
（Ⅰ）求抽取的40人中男生的人数；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一学年学生“合理作业”天数超过20天的人数．

18. 难度：中等

已知函数的一系列对应值如下表：

x
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根据表格提供的数据求y=f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，b=3c，求sinC．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G为△PAC重心，E为PB的中点，F在BC上，且CF=2FB．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：FG⊥AC．

20. 难度：中等

设函数，g（x）=2x²+4x+c．
（1）试问函数f（x）能否在x=-1时取得极值？说明理由；
（2）若a=-1，当x∈[-3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．

21. 难度：中等

过抛物线x²=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P（x，y），．
（Ⅰ）求y；
（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中直线AB恒过定点为F，若恒成立，求λ的值．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是△ABC外接圆，过⊙O上一点H作⊙O的切线，BC与这条切线平行，AC、AB的延长线交这条切线于点E、F，连接AH、CH．
（Ⅰ）求证：AH平分∠EAF；
（Ⅱ）若CH=4，∠CAB=60°，求圆弧的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．

24. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）当a=-5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．