2013年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若函数f（x）=3^x的反函数为f^-1（x），则f^-1（1）=    ．

2. 难度：中等

若复数z= （i为虚数单位），则|z|=    ．

3. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点到准线的距离是    ．

4. 难度：中等

若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是    ．

5. 难度：中等

若直线l：y-2x-1=0，则该直线l的倾斜角是    ．

6. 难度：中等

若（x+a）⁷的二项展开式中，x⁵的系数为7，则实数a=    ．

7. 难度：中等

若圆椎的母线l=10cm，母线与旋转轴的夹角α=30°，则该圆椎的侧面积为    cm²．

8. 难度：中等

设数列{a_n}（n∈N^*）是等差数列．若a₂和a₂₀₁₂是方程4x²-8x+3=0的两根，则数列{a_n]的前2013 项的和S₂₀₁₃=    ．

9. 难度：中等

若直线l过点（1，-1），且与圆x²+y²=1相切，则直线l的方程为    ．

10. 难度：中等

将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则b≤2且c≥3的概率是    ．

11. 难度：中等

若函数f（x）=+1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P，点Q在曲线x²-y-2=0上运动，则线段PQ中点M轨迹方程是    ．

12. 难度：中等

如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．则矩形BNPM面积的最大值为    平方米．

13. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且 acosB-bcosA=C，则tanAcotB的值是    ．

14. 难度：中等

已知函数若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“a=3”是“函数f（x）=x²-2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

若无穷等比数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为1，公比为a-，且，（n∈N^*），则复数z=在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

17. 难度：中等

已知F₁、F₂为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠F₁PF₂=60°，则P到x轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（a_n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：
①，
②f（x）=x²，
③f（x）=e^x，
④，
则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．②③④

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．

20. 难度：中等

（文） 已知函数f（x）=cos（x-），
（1）若f（a）=，求sin2α的值；
（2）设g（x）=f（x）•f（x+2π），求g（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

21. 难度：中等

已知椭圆C：+=1的两个焦点分别是F₁（-1，0）、F₂（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F₁，F₂距离的等差中项．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点F₂的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点Q（x，y），求y的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x＞0）的值域为集合A，
（1）若全集U=R，求C_UA；
（2）对任意x∈（0，]，不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的范围；
（3）设P是函数f（x）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，求•的值．

23. 难度：中等

设数列{x_n}满足x_n≠1且（n∈N^*），前n项和为S_n．已知点p₁（x₁，S₁），P₂（x₂，s₂），…P_n（x_n，s_n）都在直线y=kx+b上（其中常数b，k且k≠1，b≠0），又y_n=log．
（1）求证：数列{x_n]是等比数列；
（2）若y_n=18-3n，求实数k，b的值；
（3）如果存在t、s∈N^*，s≠t使得点（t，y_t）和点（s，y_t）都在直线y=2x+1上．问是否存在正整数M，当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．