《点、线、面的位置关系》2013年山东省淄博市高三数学复习（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a，b为两条异面直线，AB为其公垂线，直线l∥AB，则l与a，b两直线的交点个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．最多1个
D．最多2个

2. 难度：中等

已知轴截面（过对称轴的截面）为正方形的圆柱侧面积与球的表面积相同，那么圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．1：1
B．1：
C．2：3
D．3：2

3. 难度：中等

设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β
B．若l∥α，α∥β，则l⊂β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

4. 难度：中等

若直线m⊂平面α，则条件甲：直线l∥α是条件乙：l∥m的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

6. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．2000cm³
D．4000cm³

7. 难度：中等

正四棱锥的侧棱长为a，底面周长为4a，则这个棱锥侧面积是（ ）
A．5a²
B．a²
C．a²
D．（+1）a²

8. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，异面直线AC与B₁C₁所成的角是（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

9. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（ ）

A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等

10. 难度：中等

空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影为△BCD的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心

11. 难度：中等

在正四棱锥P-ABCD中，点P在底面上的射影为O，E为PC的中点，则直线AP与OE的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．都有可能

12. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且保持AP⊥BD₁，则动点P的轨迹为（ ）
A．线段B₁C
B．线段BC₁
C．BB₁的中点与CC₁的中点连成的线段
D．BC的中点与B₁C₁的中点连成的线段

二、填空题

13. 难度：中等

将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边，那么二面角A-BC-D的正切值为    ．

14. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为线段AA₁，B₁C上的点，则三棱锥D₁-EDF的体积为    ．

15. 难度：中等

如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是    ；

16. 难度：中等

已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：
①两条平行直线；
②两条互相垂直的直线；
③同一条直线；
④一条直线及其外一点．
在上面结论中，正确结论的编号是    （写出所有正确结论的编号）

三、解答题

17. 难度：中等

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）]若二面角C₁-BD-C的大小为60^o，求异面直线BC₁与AC所成角的大小．

18. 难度：中等

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求三棱锥C-BEP的体积．

20. 难度：中等

如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角，如图2．
（Ⅰ）证明：AC⊥BO₁；
（Ⅱ）求二面角O-AC-O₁的大小．

21. 难度：中等

已知正四棱锥S-ABCD中，高SO是4米，底面的边长是6米．
（1）求正四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求正四棱锥S-ABCD的表面积．

22. 难度：中等

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（1）求证：BC⊥A₁D；
（2）求证：平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（3）求三棱锥A₁-BCD的体积．