2012-2013学年广东省珠海一中等六校高三第三次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z满足z•（1+i）=2i，则|z|等于（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

2. 难度：中等

设U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁_UB=（ ）
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＞1}

3. 难度：中等

已知甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

4. 难度：中等

函数的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．3π
D．6π

5. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₆+a₁₀=30，a₄=10，则a₁₆的值为（ ）
A．15
B．20
C．25
D．30

6. 难度：中等

若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若m⊂β，m∥α，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ

7. 难度：中等

已知实数a，b满足，则2a+b的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

利用随机模拟方法可估计某无理数m的值，为此设计如图所示的程序框图，其中rand（ ）表示产生区间（0，1）上的随机数，P为s与n之比值，执行此程序框图，输出结果P是m的估计值，则m是（ ）

A．
B．
C．ln2
D．lg3

二、填空题

9. 难度：中等

统计某校1000名学生的数学期中考成绩，得到样本频率分布直方图如图示，若不低于80分即为优秀．据此估计，从这1000名学生中随机选出1名学生，其数学期中考成绩为优秀的概率是    ．

10. 难度：中等

与椭圆有相同的焦点且离心率为2的双曲线标准方程是    ．

11. 难度：中等

已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A（1，1），C（2，3），，则向量的坐标是    ．

12. 难度：中等

设P为曲线C：y=x³-x上的点，则曲线C在点P处的切线倾斜角取值范围为    ．

13. 难度：中等

如图所示一系列数表依次是三项式（a+b+c）ⁿ（n=0，1，2，3，…）展开式系数按一定规律排列所得，可发现数表的第k行共有k个数．依此类推，数表6的第3行第1个数为    ，数表6的第5行第3个数为    ．

14. 难度：中等

已知直线L的参数方程为：（t为参数），圆C的参数方程为：（θ为参数）．若直线L与圆C有公共点，则常数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

如图所示，圆O的直径AB=12，C为圆周上一点，BC=6，过C作圆O的切线l，过A做直线l的垂线，垂足为D，AD交圆O于E，则DE=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C，所对的边，且满足．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=5，且a＞c，b=，求的值．

17. 难度：中等

某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，有且仅有一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率；
（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；
（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ．

18. 难度：中等

某企业某年生产某种产品，通过合理定价及促销活动，确保产销平衡（根据市场情况确定产量，使该年所生产产品刚好全部销售完毕），年产量、年销量均为x万件．已知每生产1万件产品需投入32万元的生产费用，另外该年生产设备折旧、维修等固定费用总共为4万元．每件产品定价为平均每件生产成本的150%进行销售，年销量x万件与年促销费用t万元之间满足关系：（k为常数），当年促销费用t=0万元时年销量是x=2万件．
（Ⅰ）将年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（Ⅱ）该企业年促销费投入多少万元时，企业年利润最大？相应年产量及最大年利润为多少？
注：生产成本=固定费用+生产费用  （不包括促销费用）
利润=销售收入-生产成本-促销费．

19. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．

20. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+a_n=-n（n∈N^*）恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=ln（a_n+1），求{a_nb_n}的前n项和；
（3）求证：．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞0时 恒成立；
（3）若对任意的n∈N^*都成立（其中e是自然对数的底），求常数a的最小值．