2013年吉林省吉林一中高考数学模拟试卷（一）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

等于（ ）
A．i
B．-i
C．-i
D．-+i

2. 难度：中等

函数f（x）=sin²x-1是（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数

3. 难度：中等

若＜＜0，则下列不等式
①a+b＜ab；
②|a|＞|b|；
③a＜b；
④+＞2中，正确的不等式有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

4. 难度：中等

等于（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

5. 难度：中等

函数的定义域是：（ ）
A．[1，+∞）
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设函数，若g（x）=（x-2）²f（x-1），y=g（x）的反函数y=g^-1（x），则g（3）•g^-1（1）的值为（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3

7. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a=1，a_n=a+a₁+…+a_n-1n≥1、，则当n≥1时，a_n=（ ）
A．2ⁿ
B．
C．2^n-1
D．2ⁿ-1

8. 难度：中等

已知函数f（x）=，则函数y=f（1-x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A．1：3
B．1：
C．
D．

11. 难度：中等

设F₁、F₂分别为双曲线：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．[3，+∞）
B．（1，3]
C．（1，]
D．[，+∞）

12. 难度：中等

已知向量，并且满足关系：，则与的夹角最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

    ．

14. 难度：中等

在 的展开式中，常数项为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=    ．

16. 难度：中等

有如下四个命题：
①平面α和平面β垂直的充要条件是平面α内至少有一条直线与平面β垂直；
②平面α和平面β平行的一个必要不充分条件是α内有无数条直线与平面β平行；
③直线a与平面α平行的一个充分不必要条件是平面α内有一条直线与直线a平行；
④两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件．
其中正确的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量，，其中∠A，∠B为△ABC的内角，且．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；   
（Ⅱ）若．

18. 难度：中等

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与，投中得1分，投不中得0分．
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

19. 难度：中等

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，过点A₁，B，M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N．
（Ⅰ）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（Ⅱ）求二面角B-A₁N-B₁的正切值．

20. 难度：中等

设x₁，x₂是函数的两个极值点，且|x₁-x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：．

21. 难度：中等

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足，设y₃=18，y₆=12．
（1）求数列{y_n}的前多少项和最大，最大值为多少？
（2）试判断是否存在自然数M，使当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由；
（3）令，试判断数列{a_n}的增减性？

22. 难度：中等

设抛物线（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁、F₂为焦点，离心率的椭圆C₂与抛物线C₁的一个交点为P．
（1）当m=1时，直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁、A₂，如果弦长|A₁A₂|等于三角形PF₁F₂的周长，求直线l的斜率．
（2）求最小实数m，使得三角形PF₁F₂的边长是自然数．